1.2 子集、全集、补集（8大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

1.2 子集、全集、补集 一、子集的概念与性质 1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 【注意】 （1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)． （2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系． 例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集； 同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集． 2、子集的性质 （1）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A. （2）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具有传递性。 （3）空集是任意一个集合的子集，∅⊆A 二、真子集的概念与性质 1、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA) 2、真子集的性质 （1）如果AB，BC，则AC. （2）空集是任何非空集合的真子集 三、补集的概念 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集， 那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U. 2、补集 （1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作. （2）符号语言： （3）符号语言： （4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A. 【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。 四、集合相等 1、如果且，则. 2、如果，则且 五、空集 1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 六、有限集合的子集个数 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 七、韦恩图 在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。 【注意】 （1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 （2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。 韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系，如下： 题型一 确定集合的子集与真子集 【例1】（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（ ） A．4 B．8 C．15 D．16 【变式1-2】（2022秋·江苏常州·高一校考阶段练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（ ） A．32 B．31 C．30 D．29 【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型二 判断两个集合的包含关系 【例2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）若集合，，则集合A与B的关系是（ ） A． B． C． D．不确定 【变式2-2】（2023秋·四川眉山·高一仁寿一中校考期末）已知集合，.则集合M，P之间的关系为（ ） A．M=P B． C． D． 【变式2-3】（2023秋·江苏扬州·高一期末）若集合是与的公倍数，，，且，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．以上选项均不正确 题型三 由集合的包含关系求参数 【例3】（2022秋·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知集合，，若，则实数组成的集合为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022秋·安徽合肥·高一校考阶段练习