11.2与三角形有关的角-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

八年级上册数学《第十一章 三角形》 11.2 与三角形有关的角 知识点一 三角形内角和定理 ◆1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . ◆2、三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． ◆3、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 知识点二 直角三角形的性质与判定 ◆1、直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC可以记作 Rt△ABC ． ◆2、直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. ◆3、直角三角形的判定： 方法一：有一个角为90°的三角形是直角三角形. 方法二：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 方法三：两边互相垂直. 知识点三 三角形的外角 ◆1、三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． ◆2、三角形外角的性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． ◆3、若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． ◆4、探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 题型一 直接运用三角形内角和定理求角的度数 【例题1】（2023•通城县开学）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　） A．72° B．85° C．65° D．80° 解题技巧提炼 根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决. 【变式1-1】（2023春•驿城区期中）如图，△ABC中，∠A＝50°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　． 【变式1-2】已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，则∠A的度数为 　 　． 【变式1-3】在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则∠C等于 　 　． 【变式1-4】在△ABC中，已知∠B＝3∠A，∠C＝5∠A，则∠A＝　 　，∠B＝　 　，∠C＝　 　． 【变式1-5】（2022春•电白区期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝∠1，∠3＝∠C，求∠A的度数． 题型二 三角形内角和定理与平行线 【例题2】（2023•长沙一模）如图，过三角形ABC顶点C作EF∥AB，∠ACE＝65°，∠B＝30°，则∠ACB的度数是（　　） A．105° B．85° C．80° D．75° 解题技巧提炼 主要是利用平行线的性质得出角之间的数量关系，再利用三角形的内角和定理来解决问题. 【变式2-1】（2022•桑植县模拟）如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是 　 　． 【变式2-2】（2022春•双流区校级期中）已知AB∥CD，小明把△EFG的点G放在CD上，∠EFG＝90°，∠E＝30°，若∠2＝2∠1，那么∠1的度数为 　 　． 【变式2-3】（2023•聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A．65° B．75° C．85° D．95° 【变式2-4】（2023•中原区三模）物理实验中，小明研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态，如图，斜被为Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝13°，小木块△DEF在斜坡AB上，且DE∥BC，EF∥AC，则∠DFE的度数为（　　） A．13° B．77° C．87° D．63° 【变式2-5】（2022春•天元区校级期末）如图，在△ABC中，E、G分别是AB、AC上的点，F、D是BC上的点，连接EF、AD、DG，AD∥EF，∠1+∠2＝180°． （1）说明：AB∥DG； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝3∠B+40°，求∠B的度数． 题型三 三角形内角和定理与角平分线、高线综合 【例题3】（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，则∠ABC＝（　　） ​ A．50° B．60° C．70° D．80° 解题技巧提炼 灵活运用三角形的角平分线和高的性质，结合三角形的内角和定理来解决求角度数的问题. 【变式3-