第10讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见方法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第10讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 4种常见方法归类 1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量. 2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题. 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示式 设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使＝＋ta. (3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t. 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． (3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 2．空间平面的向量表示式 ①如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. ②如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． ③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行． 易错辨析： （1）空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？答案：能 （2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？答案：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定． （3）由空间点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点？答案：能 知识点2 空间平行、垂直关系的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． 线线平行 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 线面平行 l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内； (1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 线线垂直 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1 （1）基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 面面垂直 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 1、理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 2、利用待定系数法求法向量的步骤 3、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意0：提前假定法向量