第13讲 双曲线的几何性质-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第13讲 双曲线的几何性质 1．了解双曲线的几何图形及简单几何性质．　 2．通过对双曲线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用． 知识点一 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：； 虚轴：线段B1B2，长：； 实半轴长：，虚半轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 知识点二 等轴双曲线和共轭双曲线的性质 1．等轴双曲线 (1)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－＝1或－＝1(a＞0)； (2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝． 2．共轭双曲线的性质 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下： (1)有相同的渐近线； (2)有相同的焦距； (3)离心率不同，但两离心率倒数的平方和等于常数1． 考点一：双曲线的几何性质 例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 【总结】 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 【注意】　求性质时一定要注意焦点的位置． 变式 已知双曲线－＝1与－＝1，下列说法正确的是(　　) A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 考点二：由双曲线的几何性质求标准方程 例2 (1)以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1或－＝1 D．以上都不对 (2)过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________． 【总结】 求双曲线的标准方程的方法与技巧 (1)一般情况下，求双曲线的标准方程的关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴．若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得，再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程； (2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． 变式 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x． 考点三：双曲线的离心率 例3 (1)若以双曲线－＝1(a＞0)的左、右焦点和点(2，)为顶点的三角形为直角三角形，则该双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D． (2)已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 【总结】 求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解； (2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解． 变式 如图所示，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________． 1．双曲线－＝1的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 3．(多选)关于双曲线－＝1，下列说法正确的是(　　) A．实轴长为8 B．焦距为4 C．顶点坐标为(±4,0) D．离心率为 4．求双曲线4y2－9x2＝－4的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图． 1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 2．已知双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率是，则a＝(　　) A． B．4 C．2 D． 3．已知双曲线－＝1(a＞