21.2 降次解一元二次方程 讲义 2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级上册第二十一章 21.2降次——解一元二次方程讲义 21.2.1 配方法 层级要求： ⑤掌握运用配方法解一元二次方程的方法和步骤 掌握 ④掌握用直接开平方法解一元二次方程 ③配方法的概念理解运用 理解 ②理解运用开平方法降次解方程 认识 ①配方法 基础知识详解 知识点一 用直接开平方解一元二次方程 出题角度1 用直接开平方法解一元二次方程 例1. 用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣2）2=3； （2）2（x﹣3）2=72；（3）9（y+4）2﹣49=0； （4）4（2y﹣5）2=9（3y﹣1）2． 分析：（1）直接开方，再移项、合并同类项即可；（2）先方程两边都除以2，再直接开方；（3）先把﹣49移项到方程右边，再直接开方；（4）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解． 解：（1）x﹣2=±，∴，x2=2﹣， （2）（x﹣3）2=36，x﹣3=±6，∴x=9或﹣3； （3）9（y+4）2=49，∴3（y+4）=7，或3（y+4）=﹣7， ∴y+4=，或y+4=﹣，∴y=﹣或﹣； （4）2（2y﹣5）=3（3y﹣1），或2（2y﹣5）=﹣3（3y﹣1）， 4y﹣10=9y﹣3，或4y﹣10=﹣9y+3，∴﹣5y=7，13y=13，∴y=﹣或1． 点拨：此题考查用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 变式练习1. 运用直接开平方法解下列方程： （1）9x2﹣16=0； （2）（3x﹣2）2=7． 知识点二 用配方法解一元二次方程 出题角度2 求用配方法解一元二次方程配方后的方程 例2.（2012•荆州）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　） 　 A． （x﹣1）2=4 B． （x+1）2=4 C． （x﹣1）2=16 D． （x+1）2=16 解析：把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，配方得（x﹣1）2=4． 答案：A 点拨： 本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 变式练习2.（2012•临沂）用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（　　） 　 A． （x+2）2=1 B． （x﹣2）2=1 C． （x+2）2=9 D． （x﹣2）2=9 出题角度3 用配方法解一元二次方程 例3.用配方法解一元二次方程： 分析：先配方再降次求解。 解：配方得：， 所以，得。 点拨：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． （2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方． 变式练习 3.（2014•河北）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的： 由于a≠0，方程ax2++bx+c=0变形为： x2+x=﹣，…第一步 x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步 （x+）2=，…第三步 x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步 x=，…第五步 嘉淇的解法从第　 　步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是　 　． 用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0． 思维误区诊断 误区一 直接开平方时忘记取正负 例1. 用直接开平方法解一元二次方程： 错解：，， . 正解：，， . 错因分析：直接开平方时忘记一个正数的平方根有两个。因为一个正数的平方根有两个，所以直接开平方时，不能掉了正负号。 误区二 配方时没有将二次项系数化为1 例2. 用配方法解一元二次方程：