第08讲 空间向量基本定理7种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第08讲 空间向量基本定理7种常见考法归类 1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量. 2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题. 知识点1 空间向量基本定理 1．定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 注：（1）对于基底{a，b，c}应明确以下三点： ①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同． ②基底中的三个向量a，b，c都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． ③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． （2）空间向量基本定理的推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z. 推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置． 2．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i，j，k}表示． (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解． 易错辨析： （1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以． （2）在四棱锥O­ABCD中，可表示为＝x＋y＋z且唯一，这种说法对吗？对． 知识点2 证明平行、共面问题 1. 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2. 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题． 1、判断基底的方法 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 2、用基底表示向量的策略 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行． (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．　　 3、证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可． (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 考点一：空间向量基本定理基底的判断 例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．，，两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 C．，，能构成空间另一个基底 D．若，则实数，，全为零 变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 变式2．【多选】（2022·高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 变式5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 考点二：用基底表示空间向量 例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023春·高二单元测试）在平行六