微练38 一元二次不等式及其解法-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(三十八)　一元二次不等式及其解法 基础过关 一、选择题 1.(2023·湖南长沙调研)已知集合A={x|-x2+2x+3>0},全集为R,则∁RA= (A) A.(-∞,-1]∪[3,+∞) B.(-∞,-3]∪[1,+∞) C.[-1,3] D.[-3,1] 解析　由-x2+2x+3>0,解得-1<x<3,所以A={x|-1<x<3},所以∁RA=(-∞,-1]∪[3,+∞)。故选A。 2.(2023·安徽六安一模)已知p:x2-x-2<0,q:2x<4,则p是q的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为x2-x-2<0⇔-1<x<2,2x<4⇔x<2,所以p⇒q,但qp,所以p是q的充分不必要条件。故选A。 3.若0<t<1,则关于x的不等式(t-x)x->0的解集为 (D) A. B. C. D. 解析　设f(x)=(t-x)x-,则其图象开口向下,令f(x)=0,得x=t或x=,因为0<t<1,所以>t,所以不等式(t-x)x->0的解集为,故选D。 4.不等式|x|(1-2x)>0的解集为 (A) A.(-∞,0)∪0, B.-∞, C.,+∞ D.0, 解析　当x≥0时,原不等式即为x(1-2x)>0,所以0<x<;当x<0时,原不等式即为-x(1-2x)>0,所以x<0,综上,原不等式的解集为(-∞,0)∪0,。 5.不等式≤0的解集是 (C) A. B. C. D. 解析　由不等式≤0得(1-2x)(x+4)≤0且x+4≠0,即(2x-1)(x+4)≥0且x≠-4,解得x<-4或x≥,所以不等式≤0的解集是xx<-4或x≥。故选C。 6.关于x的不等式(ax-b)(x+3)<0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),则关于x的不等式ax+b>0的解集为 (A) A.(-∞,-1) B.(-1,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 解析　由题意可得a<0,且1,-3是方程(ax-b)·(x+3)=0的两实数根,所以x=1为方程ax-b=0的根,所以a=b,则不等式ax+b>0可化为x+1<0,即x<-1,所以不等式ax+b>0的解集为(-∞,-1)。 7.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是 (A) A.[0,1] B.(0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 解析　当k=0时,8≥0恒成立,符合题意;当k≠0时,要使关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,只需解得0<k≤1。综上所述,k的取值范围是[0,1]。故选A。 8.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为xx<-1或x>,则f(10x)>0的解集为 (D) A.{x|x<-1或x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2} 解析　由一元二次不等式f(x)<0的解集为xx<-1或x>,可设函数f(x)=(-x-1)x-,所以由f(10x)>0得(10x+1)10x-<0,又10x>0,所以10x-<0⇒x<-lg 2。故选D。 二、填空题 9.不等式≥2的解集是 -,1∪(1,3] 。  解析　≥2⇔x+5≥2(x-1)2且x≠1⇔2x2-5x-3≤0且x≠1⇔-≤x≤3且x≠1,即解集为-,1∪(1,3]。 10.若不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是 (-∞,-4)∪(4,+∞) 。  解析　由题意得Δ=a2-4×4>0,即a2>16,所以a>4或a<-4。 11.已知集合A={-5,-1,2,4,5},请写出一个一元二次不等式,使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素,这个不等式可以是 (x+4)(x-6)>0(答案不唯一) 。  解析　因为不等式(x+4)(x-6)>0解集为{x|x>6或x<-4},解集中只有-5在集合A中。 三、解答题 12.已知关于x的不等式-x2+ax+b>0。 (1)若该不等式的解集为(-4,2),求a,b的值; (2)若b=a+1,求此不等式的解集。 解　(1)根据题意得解得a=-2,b=8。 (2)当b=a+1时,-x2+ax+b>0⇔x2-ax-(a+1)<0,即[x-(a+1)](x+1)<0。当a+1=-1,即a=-2时,原不等式的解集为⌀;当a+1<-1,即a<-2时,原不等式的解集为(a+1,-1);当a+1>-1,即a>-2时,原不等式的解集为(-1,a+1)。综上,当a<-2时,不等式的解集为(a+1,-1);当a=-2时,不等式的解集为⌀;当a>-2时,不等式的解集为(-1,a+1)。 13.某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售