2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-5——导数（大题）9

2023年全国一卷新高考题型分类S2-5 ——导数（大题）9 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 导数——大题9： （2023年湘J06长沙明德仿真）已知函数. （1）讨论函数的单调性；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分为，两种情况讨论导数的正负，得出函数的单调性； （2）有三个零点，当且仅当，由此得出范围．由题意①，由在处的切线经过点求得②，①②联立化简整理即可得出结论. 【小问1详解】 ，令， (i)当时，时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； (ii)当时，时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 有三个零点，当且仅当或， 由题意，① 在处的切线方程为：， 该切线经过点，则， 即，② ①②联立得：， ， 因为， 所以，， 所以，即. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的． ] （2）若有三个零点，且在处的切线经过点，，求证：. （2023年湘J07雅礼二模）已知函数． （1）若在R上单调递减，求a的取值范围；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数的单调性可得即在R上恒成立，利用导数研究函数的性质求出即可求解； （2）由函数零点的存在性定理可得，使得,进而得出函数的单调性，结合、即可证明函数在上只有一个零点；由得，将不等式变形为，则证明即可，构造函数，结合分析法，利用导数研究函数的性质即可证明. 【小问1详解】 因为，所以． 由在R上单调递减，得，即在R上恒成立． 令，则． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 故，解得， 即a的取值范围为． 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递减，且，， 故，使得． 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 因为，，所以在上只有一个零点， 故函数在上只有一个零点． 因为，所以要证，即证，即证． 因为，得， 所以，故需证即可． 令，，则． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 故．即， 原不等式即证. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点问题，不论哪种方法，其核心步骤都是构造函数.利用已知的函数或已知条件将问题转化，重新构造函数模型，通过导数研究函数模型的单调性、极值或最值等达到解决问题的目的. ] （2）当时，求证在上只有一个零点，且． （2023年长沙雅礼一模）已知函数． （1）当时，求的最大值；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，进而求得最大值； （2）构造函数，求导得，由于当时，，所以，结合可得在区间上恒成立，进而得到在区间上为增函数，进而求解即可得证. 【小问1详解】 由，， 所以， 令，得，即； 令，得，即， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，． 所以． 【小问2详解】 设， 所以， 当时，，所以， 又， 所以恒成立． 所以在区间上恒成立． 所以在区间上为增函数， 所以， 所以当时，. 【点睛】关键点睛：本题第（2）问关键在于构造函数求导后，利用时，，放缩成，进而得到在区间上恒成立，从而得到在区间上为增函数，即可求解. ] （2）当时，求证：（记）． （2023年湘J10长沙四校）已知函数．（[endnoteRef:5]） [5: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，然后分类讨论，时，利用不等式性质放缩：，再利用导数证明右边大于0，，直接由不等式的性质证明，时，利用导数证明其有唯一零点； （2）由，恒成立，得出函数在0的左侧邻域内，是减函数，有，则，从而得出必要条件，然后利用导数证明其也是充分条件，同样分类讨论：当时，由不等式性质证明，时，利用导数进行证明． 【小问1详解】 证明：由题意得，当时，， 故． （i）当时，，记， 则，单调递增，， 所以，即当时，无零点． （ii）当时，，， 即当时，无零点． （iii）当时，． 因为，所以，