2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-5——导数（大题）4

2023年全国一卷新高考题型分类S2-5 ——导数（大题）4 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 导数——大题4： （2023年鲁J10青岛三模）已知函数，当，b＝1时，曲线在x＝0处的切线与x轴平行． （1）求c；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把，b＝1代入，利用导数的几何意义结合给定切线求出c并验证作答. （2）不等式等价变形成，构造函数，分类讨论并结合导数确定出a，b取值范围，结合不等式性质构造函数利用导数求出最小值判断作答. 【小问1详解】 依题意，，求导得，于是，解得， 而当时，，，因此曲线在x=0处的切线为，平行于x轴， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， 令，求导得， 若，则，不符合题意， 若，当时，，符合题意， 当时，， 因此函数在上单调递增，，符合题意， 当时，令，则， 即函数在上单调递增，而， 则存在使得，当时，，函数在上单调递减， 当时，，不符合题意， 综上得且，则有，令， 求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，即， 所以. 【点睛】关键点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键. ] （2）当时，，证明：． （2023年鲁J11烟台J36德州一模）已知，且0为的一个极值点． （1）求实数的值；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求得，由0为的一个极值点，可得，进而求解； （2）①当时，由，可得单调递减，由，可得，此时函数无零点；当时，设，结合其导数分析单调性，结合，和零点存在性定理，可知存在，使得，进而得到单调性，结合得到在上单调递增；结合，，存在，得到函数的单调性，可得而在上无零点；当时，由，可得在单减，再结合零点存在定理，可得函数在上存在唯一零点；当时，由，此时函数无零点，最后综合即可得证. ②由（1）中在单增，所以，有，可得.令，利用放缩法可得，再结合，分别利用累加发可得，，即可求证. 【小问1详解】 由， 则， 因为0为的一个极值点， 所以，所以． 当时，， 当时，因为函数在上单调递减， 所以，即在上单调递减； 当时，，则， 因为函数在上单调递减，且，， 由零点存在定理，存在，使得， 且当时，，即单调递增， 又因为， 所以，，在上单调递增；. 综上所述，在上单调递减，在上单调递增， 所以0为的一个极值点，故. 【小问2详解】 ①当时，，所以单调递减， 所以对，有，此时函数无零点； 当时，设， 则， 因为函数在上单调递减，且，， 由零点存在定理，存在，使得， 且当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减． 又因为， 所以，，在上单调递增； 因为，， 所以存在， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 所以，当时，单调递增，； 当时，单调递减，， 此时在上无零点； 当时，， 所以在单减， 又，， 由零点存在定理，函数在上存在唯一零点； 当时，，此时函数无零点； 综上所述，在区间上存在唯一零点． ②因为，由（1）中在上的单调性分析， 知，所以在单增， 所以对，有， 即，所以． 令，则， 所以， 设，， 则， 所以函数在上单调递减， 则， 即，， 所以 ， 所以， 所以. 【点睛】关键点睛：本题第（2）②，关键在于先证明，令，利用放缩法可得，再结合累加法即可得证. ] （2）证明：①函数在区间上存在唯一零点； ②，其中且． （2023年鲁J12烟台二模）已知函数．（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，转化为在上恒成立，进而转化为在上恒成立，令，求得，得出函数的单调性和最大值，即可求解. （2）当时，得到且，当时，只需使得，利用导数求得单调递增，得到；当时，显然满足； 当时，由和，得到，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 因为在上单调递增，可得在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极大值，即为最大值， 所以，即实数a的取值范围为. 【小问2详解】 解：当时，，可得 当时，可得， 要使得