21.1一元二次方程 讲义 2023-2024学年人教版数学九年级上册

2023-2024学年人教版九年级上册第二十一章21.1一元二次方程讲义 21.1 一元二次方程 层级要求: ⑤掌握一元二次方程及其相关概念并用这些概念解决问题. 掌握 ④掌握正确识别二次项系数、一次项系数及常数项的方法。 ③理解一元二次方程的一般形式。 理解 ②理解一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式. 认识 ①使学生了解一元二次方程及整式方程的意义。 基础知识详解 知识点一 一元二次方程的概念 出题角度1 一元二次方程的判断 例1.下列方程是一元二次方程吗?说明理由. (1)5x2+6=3x(2x+1); (2)8x2=x; (3)=5; (4)4x2=3y;(5)﹣x2=0;(6)x(5x﹣l)=x(x+3)+4x2. 分析:根据整式方程中含有一个未知数,且未知数的最高次是二次的方程是一元二次方程,可得答案. 解:(1)5x2+6=3x(2x+1),是,整式方程中含有一个未知数,且未知数的最高次是二次的方程是一元二次方程; (2)8x2=x,是,整式方程中含有一个未知数,且未知数的最高次是二次的方程是一元二次方程; (3)=5,不是,是分式方程; (4)4x2=3y,不是,二元二次方程; (5)﹣x2=0;是,整式方程中含有一个未知数,且未知数的最高次是二次的方程是一元二次方程; (6)x(5x﹣l)=x(x+3)+4x2不是,是一元一次方程. 点拨:本题考查了一元二次方程,整式方程中含有一个未知数,且未知数的最高次是二次的方程是一元二次方程,注意要化简后才能判断. 变式练习1. 下列方程是整式方程吗?还是一元一次方程?或一元二次方程? (1)3x+2=5x﹣3.(2)x2=4.(3)(x﹣1)(x﹣2)=x2+8.(4)(x+3)(3x﹣4)=(x+2)2. 出题角度2 利用一元二次方程的概念求字母的取值 例2. 已知关于x的方程(m+1)x2+(m﹣3)x﹣(2m+1)=0,m取何值时,它是一元二次方程? 分析:根据一元二次方程的定义,列出不等式m+1≠0,求出m的取值范围即可. 解:∵方程(m+1)x2+(m﹣3)x﹣(2m+1)=0是关于x的一元二次方程, ∴m+1≠0,即m≠﹣1. 点拨:此题考查了一元二次方程的定义,一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点. 变式练习2.已知是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是( ) A.m≠3 B.m≥3 C.m≥-2 D. m≥-2且m≠3 出题角度3 字母系数的方程分类讨论下的字母求值问题 例3.已知方程x2﹣mx(2x﹣m+1)=x. (1)求当m为何值时,该方程为一元一次方程,并求出此方程的根; (2)求当m为何值时,该方程为一元二次方程,并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 分析:先把原方程化为(1﹣2m)x2+(m2﹣m﹣1)x=0 (1)根据一元一次方程的定义可得1﹣2m=0,m2﹣m﹣1≠0,解即可; (2)根据一元二次方程的定义可知:1﹣2m≠0,再解不等式即可. 解:原方程可化为(1﹣2m)x2+(m2﹣m﹣1)x=0 (1)根据一元一次方程的定义可知:1﹣2m=0,m2﹣m﹣1≠0,解得:m=, 原方程为x=0, x=0 答:m=时,此方程是一元一次方程,此方程的根为x=0; (2)根据一元二次方程的定义可知:1﹣2m≠0,解得:m≠. 一元二次方程的二次项系数1﹣2m、一次项系数m2﹣m﹣1,常数项0. 变式练习3. 已知关于x的方程,问: (1)m取何值时,它是一元二次方程并写出这个方程; (2)m取何值时,它是一元一次方程? 知识点二 一元二次方程的一般形式 出题角度4 将一元二次方程化为一般形式,并求一元二次方程的二次项系数、一次项系数或常数项 例4. 将方程化为一般形式,并指出它的二次项系数a一次项系数b和常数项c的值. (1)(2x﹣5)(x+2)=1 (2)﹣2x(x﹣5)=3﹣x (3)(2x﹣1)(x+5)=6x. 分析:根据整式的乘法,移项,合并同类项,可得一元二次方程的一般形式. 解:(1)2x2﹣x﹣11=0,a=2,b=﹣1,c=﹣11; (2)2x2﹣6x+3=0,a=2,b=﹣6,c=3; (3)2x2+3x﹣5=0,a=2,b=3,c=﹣5. 点拨:本题考查了一元二次方程的一般形式,根据整式的乘法,移项,合并同类项,可得一元二次方程的一般形式. 变式练习4. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项. (1)3y2=5y﹣5. (2)(2x﹣1)(3x+2)=3. (3)2x(x﹣1)=3(x+2)+1. 出题角度5 由一元二次方程的二次项系数、一次项系数或常数项写出一元二