第一章 课时作业9 用空间向量研究夹角问题 -【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 课时作业9 用空间向量研究夹角问题 时间:45分钟 一、选择题 1.如图所示,直三棱柱ABC- A1B1C1 中,AA1=AB= AC,AB⊥AC,M 是CC1的 中点,Q 是BC 的中点,P 是 A1B1 的中点,则直线 PQ 与AM 所成的 角为 ( ) A.π6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 2.正方形ABCD 所在平面外有一点P,PA⊥ 平面ABCD.若PA=AB,则平面PAB 与 平面PCD 所成的夹角的大小为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E 为BB1 的中点,则平面A1ED 与平面ABCD 夹角 的余弦值为 ( ) A.12 B. 2 3 C. 3 3 D. 2 2 4.如图,在三棱锥P-ABC 中, PA ⊥ 平面ABC,∠BAC = 90°,D,E,F 分 别 是 棱 AB, BC,CP 的中点,AB=AC= 1,PA=2,则直线PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 ( ) A.15 B. 2 5 C. 5 5 D. 25 5 5.已知四棱锥P-ABCD,底 面是边长为2的正方形, △PAD 是以AD 为斜边 的 等 腰 直 角 三 角 形, AB ⊥ 平面PAD,E 是线段PD 上的动点 (不含端点).若线段AB 上存在点F(不含 端点),使得异面直线PA与EF所成角的大 小为30°,则线段PE 的长的取值范围是 ( ) A.0,22 B.0,63 C.2 2 ,2 D.63,2 6.(多选题)如图,已知E 是 棱长为2的正方体ABCD- A1B1C1D1 的棱 BC 的中 点,F 是棱BB1 的中点,设 点D 到平面AED1 的距离 为d,直线DE 与平面AED1的夹角为θ,平 面AED1 与平面AED 的夹角为α,则 ( ) A.DF ⊥ 平面AED1B.d= 4 3 C.sin θ= 45 15 D.cos α= 2 3 二、填空题 7.如图,平面 PAD ⊥ 平面 ABCD,四边形ABCD 为正 方 形,∠PAD =90°, 且 PA=AD,E,F分别是线段 PA,CD 的中点,若异面直线EF 与BD 所 成的角为α,则cos α= . 8.如图所示,在长方体ABCD- A1B1C1D1 中,AB =BC=2, CC1=4,点E 是线段CC1的中 点,点F 是正方形ABCD 的中 心,则直线A1E 与直线B1F 所 成角的余弦值为 . 9.在正四棱锥S-ABCD 中,O 为顶点S 在底 面上的射影,P 为侧棱SD 的中点,且SO= OD,则直线BC 与平面PAC 所成角的大小 是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 133 三、解答题 10.如图,在五面体ABCDEF 中,FA ⊥ 平面 ABCD, AD ∥BC∥FE,AB⊥ AD,M 为EC 的 中 点, AF=AB=BC=FE= 1 2AD. (1)求异面直线BF 与DE 所成的角的 大小; (2)证明:平面AMD ⊥ 平面CDE; (3)求二面角A-CD-E 的余弦值. 11.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底 面 ABCD 是 矩 形, PA ⊥ 平面 ABCD,AP = AB=2,BC=22,E,F 分 别是AD,PC 的中点. (1)证明:PC⊥ 平面BEF; (2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小. 12.如图所示,在长方形ABCD 中,AB=22, AD= 2,M 为DC 的中点.将 △ADM 沿 AM 折起,使得二面角 D-AM-B 为直二 面角. (1)求证:AD ⊥BM; (2)问:在线段DB 上是否存在一点E,使 得直线BD 与平面AME 所成角的正弦值 为2 30 15 ? 若存在,请确定点E 的位置;若 不存在,请说明理由. 13.(多选题)如图所示,设 E,F 分 别 是 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CD 上的两点,且 AB = 2,EF=1,其中正确的说 法是 ( ) A.三棱锥