2.5.2 圆与圆的位置关系(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

第二章　直线和圆的方程　　　　　　　 2.5.2 圆与圆的位置关系 [课标解读]1.能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系.2.能解决两圆相切、两圆相交的有关问题. [素养目标]水平一:圆与圆位置关系的判断.(直观想象) 水平二:两圆相切、相交的有关问题.(直观想象、数学建模) 圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系 我们知道,两个圆之间存在以下三种位置关系: (1)两圆 ,有两个公共点; (2)两 圆 ,包 括 与 ,只有一个公共点; (3)两 圆 ,包 括 与 ,没有公共点. 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法 已知两圆C1:(x-x1)2+(y-y1)2=r21, C2:(x-x2)2+(y-y2)2=r22, 则圆心距d=|C1C2|= . 则两圆C1,C2 有以下位置关系: 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 图示 (2)代数法 已知两圆:C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 将方程联立 x2+y2+D1x+E1y+F1=0, x2+y2+D2x+E2y+F2=0. 消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二 次方程, 则 ① 判别式Δ>0时,C1 与C2 . ② 判 别 式 Δ =0 时,C1 与 C2 或 . ③ 判 别 式 Δ <0时,C1 与 C2 或 . 圆与圆的公共弦 1.圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到两个交点,这两点之间的 线段就是两圆的公共弦. 2.公共弦所在直线的方程 将两个相交圆的方程相减,消去x2 项,y2 项,所得二元一次方程即为两圆的公共弦所在 直线的方程,即由x2+y2+D1x+E1y+F1- (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0得公共弦所在 直线方程为D1x+E1y+F1-(D2x+E2y+ F2)=0,简记为“两圆相减公共弦”. 3.公共弦长的求法 (1)代数法:将两圆的方程联立,解出两交 点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法:求出公共弦所在的直线方程, 在圆的半径、半弦、弦心距构成的直角三角形 中,根据勾股定理求出半弦长,进而求出弦长. 两圆的公切线 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线, 可分为外公切线和内公切线. 两圆的位置关系与公切线条数的关系 (1)两圆外离,有四条公切线. (2)两圆外切,有三条公切线. (3)两圆相交,有两条公切线. (4)两圆内切,有一条公切线. (5)两圆内含,没有公切线.如图. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 073 1.如果两个圆没有公共点,那么它们一定外离; 如果两个圆只有一个公共点,那么它们一定 外切,这种说法是否正确? 2.两个圆的方程相减得到的方程一定是公共弦 的直线方程吗? 3.两圆的公切线条数与两圆位置关系有何联 系? 能 否 根 据 公 切 线 条 数 判 断 两 圆 位 置 关系? 4.想一想,两圆的公切线方程如何求解? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 圆和圆的位置关系问题 [例1] 已知圆A:x2+y2=m 与圆B: x2+y2+6x-8y-11=0,当实数m 为何值时, 圆A 与圆B 有以下位置关系: (1)外离;(2)外切;(3)相交;(4)内切; (5)内含. 学生试答: 　　 判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种， 几何法比代数法简便，因此解题时常用几何法，用 几何法判断两圆位置关系的步骤如下： 　　(1)将两圆的方程化为标准方程； (2)求出两圆的圆心距d和半径r1，r2； (3)根据d与|r1－r2|，r1＋r2 的大小关系作 出判断. 变式训练1 (1)圆x2+y2+4x-4y+ 7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切 线的条数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知两圆(x+2)2+(y-2)2=1与(x- 2)2+(y-5)2=r2(r>1)