2.5.1 直线与圆的位置关系(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 [课标解读]1.会用代数方法与几何方法判断直线与圆的位置关系.2.能解决直线与圆相切、相交的有关问题.3.能 利用直线与圆的关系解决实际问题. [素养目标]水平一:运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系.(逻辑推理) 水平二:运用直线和圆的方程解决简单问题.(应用能力) 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系及图形表示 关系 相交 相切 相离 图形 由上表可知,当直线与圆相交时,有两个公 共点;当直线与圆相切时,只有一个公共点;当 直线与圆相离时,没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判断方法 判断 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 一 般 有 两 种 方法: (1)代数法(判别式法):将直线和圆的方程 联立得到一个关于x,y 的二元二次方程组,消 去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次 方程,则 ⇔ 直 线 和 圆 相 交 (有 两 个 公 共点); ⇔ 直 线 和 圆 相 切 (有 一 个 公 共点); ⇔ 直线和圆相离(无公共点). (2)几何法:设圆心到直线的距离为d,圆的 半径为r,则 ⇔ 直 线 和 圆 相 交 (有 两 个 公 共点); ⇔ 直 线 和 圆 相 切 (有 一 个 公 共点); ⇔ 直线和圆相离(无公共点). 即有 位置关系 相交 相切 相离 图示 公共点个数 2 1 0 代数条件 Δ>0 Δ=0 Δ<0 几何条件 d<r d=r d>r 通常优先选择用几何方法判断直线与圆的 位置关系. 圆的切线问题 1.自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外,则过此点可以作圆 的 条切线; (2)若点在圆上,则过此点只能作圆 的 条切线,且此点是切点; (3)若点在圆内,则过此点不能作圆 的 切线. 2.切线方程的几个重要结论 (1)经过圆x2+y2=r2 上一点P(x0,y0) 的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 P(x0,y0)的切线方程为(x0 -a)(x -a)+ (y0-b)(y-b)=r2. (3)经过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上 一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y+D· x+x0 2 +E ·y+y0 2 +F=0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 068 第二章　直线和圆的方程　　　　　　　 (4)已知圆x2+y2=r2的切线的斜率为k, 则圆的切线方程为y=kx±r k2+1. 3.切线长公式 过圆外一点P(x0,y0)引圆的两条切线, 则切 线 长 为 x20+y20+Dx0+Ey0+F = (x0-a)2+(y0-b)2-r2. 4.切点弦方程 过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)引圆的 两条切线,切点分别为A,B,则过A,B 两点的 直线方程为x0x+y0y=r2. 圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b,圆O 的方程 为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,求弦长的方法有 以下两种: (1)几何法:如图所示,过圆 心O 作l的垂线,由圆的性质知 垂足 G 为线段EF 的中点.在 Rt△OGF 中,|GF|2=r2-d2,则弦长|EF|= 2|GF|= . (2)代数法:将直线方程与圆的方程组成方 程组,设交点坐标分别为E(x1,y1),F(x2,y2). ① 若交点坐标简单易求,则直接利用两点 间的距离公式进行求解. ② 将方程组 y=kx+b, (x-x0)2+(y-y0)2=r2 消 元后得一元二次方程,由一元二次方程中根与系数 的关系可得x1+x2,x1·x2或y1+y2,y1·y2 的关系式,则有 |EF|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = 1+k2|x1-x2| = , 或|EF|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = 1+ 1 k2|y1-y2| = . 通常把|EF|= 1+k2 |x1 -x2|或 |EF|= 1+ 1 k2|y1-y2| 叫做弦长公式. 1.“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关 系,各有什么优势? 2.如何选择判断直线与圆的位置关系的方法