(教案)第4章 4.1 4.1.1 n次方根与分数指数幂-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

4.1　指数 4.1.1　n次方根与分数指数幂 学习任务目标 1．理解根式的概念及分数指数幂的含义； 2．会进行根式与分数指数幂的互化； 3．掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质. 判断正误． (1)＝2n. (√) (2)2m·2n＝2mn. (×) (3)(2m)n＝2mn.(×) (4)已知m∈N*，则(ab)m＝ambm. (√) 知识点一　n次方根 (1)定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)性质： n是 奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为 a<0 x<0 n是 偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为± a<0 x不存在 [微训练] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)16的4次方根为2. (×) (2)2是16的4次方根． (√) (3)的运算结果为±2. (×) (4)当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义． (√) (5)当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义． (√) 知识点二　根式 (1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ [微训练] 求下列各式的值． (1)＝－2； (2)＝π－3. 知识点三　分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 a＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 负分数指数幂 a＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 知识点四　有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． [微训练] 1．若m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(C) A． B． C． D． 2．计算：4－－1＝(C) A．－2 B．－1 C．0 D．1 3．(多选)下列运算结果中正确的是(BD) A．a2·a3＝a6 B．＝a C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝－a6 根式的概念及运算 1．填空： (1)16的平方根为±4，－27的3次方根为－3； (2)已知x7＝6，则x＝； (3)若有意义，则实数x的取值范围是[2，＋∞). 2．化简：(1)(x<π，n∈N*)； (2). 解：(1)因为x<π，所以x－π<0. 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上，＝ (2)＝＝|2a－1|.因为a≤，所以2a－1≤0，所以＝1－2a. 根式与分数指数幂的互化 【例1】用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)． (1)a2；(2)； (3)·；(4)()2·. 解：(1)原式＝. (2)原式＝. (3)原式＝. (4)原式＝ 把下列根式化成分数指数幂的形式(a>0，b>0)． 解：(1)原式＝. 分数指数幂的运算 观察分数指数幂的运算性质： (1)asat＝as＋t；(2)(as)t＝ast； (3)(ab)t＝atbt.其中a＞0，b＞0，s，t为有理数． 体会底数、幂指数的取值范围，并回答下列问题： 探究：在a＜0，b＜0时，分数指数幂的运算性质成立吗？ 提示：不一定成立，如(－2)×(－2)＝(－2)，而(－2)无意义，所以(－2)×(－2)＝(－2)不成立，即当a＜0，b＜0时，分数指数幂的运算性质不一定成立． 【例2】计算下列各式． 解：(1)原式＝ (2)原式＝＋－2＋－3×1＋＝＋100＋－3＋＝100. (3)原式＝ 【类题通法】 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数的，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数，然后尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质进行运算． 解：(1)原式＝ (2)原式＝ 根式 1．n次方根的概念 (1)定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n是 奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为 a<0 x<0 n是 偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为± a<0 x不存在 ·说明 (1)n次方根实际就是平方根与立方根的推广； (2)n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算． 2．根式的概念 (1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：①当n为奇数时，＝a； ②当n为偶数时，＝|a|＝ 根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简． (2)注意点：