(教案)第2章 2.2 基本不等式-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式及其简单应用 学习任务目标 1．了解基本不等式的证明过程； 2．能利用基本不等式证明简单的不等式； 3．能利用基本不等式求最值. 如图， AB是圆O的直径， O为圆心，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，OD. (1)如何用a，b表示OD? (2)如何用a，b表示CD? (3)OD与CD的大小关系怎样？ 答案：(1)OD＝； (2)CD＝； (3)OD≥CD. 知识点一　基本不等式 1．算术平均数与几何平均数 (1)条件：给定两个正数a，b. (2)结论：叫做正数a，b的算术平均数；叫做正数a，b的几何平均数． 2．基本不等式 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)结论：≤. (3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时． (4)语言描述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． [微训练] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)基本不等式成立的条件“a，b>0”不能省略． (　　) √　提示：不能省略条件“a，b>0”． (2)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　) ×　提示：任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立；当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立． (3)若a≠0，则a＋≥2＝2. (　　) ×　提示：只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立． 知识点二　基本不等式与最值 已知x，y都为正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值S2. [微训练] 1．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为________. 20　解析：因为x>0，y>0，所以x＋y≥2＝2＝20，当且仅当x＝y＝10时，等号成立． 2．已知x>0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________. 81　解析：因为x>0，y>0，所以xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立. 对基本不等式的理解 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 B　解析：令a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立． 2．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 C　解析：由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)． 3．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为(　　) A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 B　解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1.故选B. 用基本不等式比较大小 【例1】 设s＝a＋b2＋1，t＝a＋2b，则s与t的大小关系是(　　) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t A　解析：因为 b2＋1≥2b，所以s＝a＋b2＋1≥a＋2b＝t. 【例2】已知a>b>c，则与的大小关系是________________. ≤　解析：因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立． 1．已知m＝a＋(a>2)，则(　　) A．m>4 B．m<4 C．m≥4 D．m≤4 C　解析：因为a>2，所以a－2>0，所以m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时，等号成立． 2．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0.求证：＋≥4. 证明：＋＝＋＋＋＝＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b且c＝d时，等号成立． 故＋≥4. 用基本不等式求最值 探究1：若已知x>0，如何求x＋的最小值？ 提示：转化为x与的积为常数，因为x>0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2. 探究2：若x<0，那么x＋还会有最小值吗？若没有，会怎样？ 提示：因为x<0，所以－x>0， (－x)＋≥2＝2，有x＋≤－2， 当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立， 因此x＋的最大值为－2，没有最小值． 【例3】已知0<x<，求代数式x(1－3x)的最大值． 解：因为0<x<，所以1－3x>0. 所以x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤2＝，当且仅当x＝时，等号成立，因此x(1－3x)的最大值为. 【例4】已知x>，求代数式4x－2＋的最小值． 解：因为x>，所以4x－5>0. 所以4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5， 当且仅当4x－5＝，