专题1.1 探索勾股定理（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.1 探索勾股定理（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】勾股定理 1. 定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果有a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则有 2. 变形公式有：； 3. 解题的基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机结合起来，就是把直角三角形中的这个图形的“形”与三边关系这个“数（量）”结合起来，这就是数形结合 【知识点2】勾股定理的证明 1. 常用的验证法：验证方法很多，有测量法、几何证明法，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，利用面积等关系进行证明。 2. 经典的勾股定理证明方法： 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 【考点一】勾股定理➼➻求线段长 【例1】如图，嘉嘉在荡秋千时发现，秋千在静止位置时，下端离地面米，荡秋千到位置时，下端距静止位置的水平距离等于米，距地面米，求秋千的长．    【答案】米 【分析】根据题意，设为米，在中，根据勾股定理即可求解． 解：如图所示，    根据题意可知：， 设为米， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴秋千的长为米． 【点拨】本题主要考查直角三角形的勾股定理，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】如图，在中，，，，求BC边上的高AD的长．      【答案】12 【分析】为高，那么题中有两个直角三角形．在这两个直角三角形中，设为未知数，可利用勾股定理都表示出长．求得长，再根据勾股定理求得长即可． 解：设，则， 在中，， 在中，， ∴， ， 解得， ． 【点拨】本题考查了勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答． 【变式2】如图，在中，，，，于．求： (1)的长和的面积； (2)的长． 【答案】(1) ，； (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得的长；利用三角形的面积公式可求出的面积； （2）再根据三角形的面积公式是一定值求得即可． （1）解：在中，，，， ∴， ∴． （2）解：， ， ． 【点拨】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【考点二】勾股定理➼➻求面积 【例2】如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长． 【答案】△ABC的面积为，CD的长为cm 【分析】根据直角三角形面积公式即可求解三角形的面积，再根据直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高． 解：∵∠ACB=90 ∴ ∵ ∴ ∴ 答：△ABC的面积为，CD的长为cm． 【点拨】本题考查直角三角形的性质及其面积公式，解题的关键是熟知三角形面积不变． 【举一反三】 【变式1】计算图中四边形ABCD的面积. 【答案】246 【分析】根据观察图形可以看出四边形ABCD的面积为△ABD和△BCD的面积之和，根据AD，AB可以计算△ABD的面积和BD的长，根据CD，BD可以计算△BCD的面积，即可解题． 解：在Rt△ABD中，BD为斜边， AD=12，AB=16， ， 故四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD=×12×16+×15×20=96+150=246． 答：四边形ABCD的面积为246． 【点拨】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积计算方法，本题中正确的计算△ABD和△BCD的面积是解题的关键． 【变式2】已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有， (1) 如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2) 分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3) 若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 【答案】(1)，证明见分析；(2)；(3)24 【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3； （2）根据（1）中的求解即可得出答案； （3）利用（2）中的结论进行求解． （1）解：①， 根据勾股定理可知：， ； （2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得； （3）解：由（2）