2023年北师大版八年级升九年级暑假数学讲义：代数（五）分式及分式方程

分式 分式的基本概念 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。 【例1】 在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，，，，， 【巩固】代数式中分式有（ ） .6个 .4个 .3个 .2个 下列各式：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）中，整式有 ，分式有 （填序号）. 分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 【例2】 填空： （1） （2） （3） （4） 【巩固】1.若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？ （1） （2） （3） 2.把下列分式中的字母和都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？ （1） （2） 分式的通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义： 取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 【例3】 求下列各组分式的最简公分母 （1），， （2），， （3），， （4），， 【例4】 把下列各式通分. （1） （2） 【巩固】把下列各式通分. （1），， （2），， 分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 【例5】 以下分式化简：（1）；（2）；（3）；（4）。其中错误的有（ ） 1个 .2个 .3个 .4个 【巩固】约分：（1） （2） （3） （4）（5）；（6） 与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（） ②分式无意义：分母为0（） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例6】 为何值时，分式无意义？ 【巩固】当= 时，分式无意义. 【例7】 为何值时，分式有意义？ 【巩固】求下列分式有意义的条件： （1） （2） （3） （4） （5） 分式的乘除 分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子 【例8】 下列运算中正确的是（ ） . . . . 【巩固】 计算：（1） （2） （3） （4） （5） 分式的加减 1．化简： （1）；（2）． （3）． 分式的加减乘除混合运算 1．化简：（）． 2．化简：﹣÷． 3．计算：（）÷． 分式的化简求值 1．先化简，后求值：，其中 ． 2．先化简，再求值：，其中x2﹣3x+2＝0． 3．先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值． 有条件的分式化简求值 1．已知，则的值是 　 　． 2．若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1﹣）÷的值为 　 　． 3．已知 x2﹣3x+1＝0，则x3﹣2x+的值为 　 　． 4．已知x2﹣3x+1＝0，则的值为 　 　． 分式方程 分式方程：分母中含有 　　　 的方程叫分式方程。 判断下列各式哪个是分