22.1 二次函数的图象和性质-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

22.1 二次函数的图象和性质 1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式； 2．会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念； 3. 掌握二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；（上加下减）； 4.会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系； 5.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题； 6.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法； 7. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式； 8.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； 9.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想。 一、二次函数 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作二次函数。其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 【理解与拓展】如果y= ax²+bx +c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫作x的二次函数。 这里，当a=0时就不是二次函数了，但b，c可分别为零，也可以同时都为零。 下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 1．判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．若 (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 二、二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①y=ax²； ②y=ax²+k； ③y=a(x-h)²； ④y=a(x-h)²+k。 ⑤y=ax²+bx+c。 (以上式子中的a≠0。) 几种形式的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 ①a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。②|a|越大，抛物线的开口越小。 x=0(y轴) (0，0) 在顶点处，函数有最小值。 在顶点处，函数有最大值。 在对称轴左边，y随x的增大而y随x的增大而减小；在对称轴右边，y随x的增大而增大。 在对称轴左边，y随x的增大而y随x的增大而增大；在对称轴右边，y随x的增大而减小 x=0(y轴) (0，k) x=h (h，0) x=h (h，k) 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 ①a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；|a|相等，则抛物线的开口大小、形状相同。 ②对称轴是平行于y轴(或与y轴重合)的直线，记作x=h；特别地，y轴记作直线 x=0。 ③抛物线顶点的横坐标对应着对称轴，抛物线顶点的纵坐标对应着函数的最大(小)值。 3.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)中，a，b，c及b²-4ac的作用： ①a>0：抛物线开口向上； ②a<0：抛物线开口向下； ③b=0：抛物线对称轴为y轴； ④ab>0(a，b同号)：抛物线对称轴在y轴左侧； ⑤ab<0(a，b异号)：抛物线对称轴在y轴右侧； ⑥c=0：图象过原点； ⑦c>0：抛物线与y轴的正半轴相交； ⑧c<0：抛物线与y轴的负半轴相交； ⑨b²-4ac=0：抛物线与x轴有唯一交点(顶点)。 ⑩b²-4ac>0：抛物线与x轴有两个不同的交点。 ⑪b²-4ac<0：抛物线与x轴无交点。 4.用待定系数法求二次函数的解析式： ①一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)。已知图象上3点或3对x，y的值，通常选择一般式。 ②顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式。(可以看成y=ax²的图象平移后所对应的函数。) ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。已知图象与 x轴的交点坐标 x1，x2，通常选用交点式。(由此得根与系数的关系 【理解与拓展】 用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤： ①设：根据已知条件设出适当的解析式。 ②代：将已知点坐标或x，y的值代入所设解析式，得到关于未知系数的方程(组)。 ③解：解方程(组)，得到未知系数的值。 ④得：将系数的值代入所设解析式，得到结果。 5.抛物线的平移： 二次函数y= ax² +k，y= a(x-h)²，y=a(x-h)²+k的图象与y=ax²的图象都是抛物线，且