专题13 空间向量与立体几何-学易金卷：2023年高考真题和模拟题数学分项汇编（全国通用）

专题13 空间向量与立体几何 （新课标全国Ⅰ卷）1．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 （新课标全国Ⅰ卷）2．在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． （新课标全国Ⅰ卷）3．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． （新课标全国Ⅱ卷）4．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 （新课标全国Ⅱ卷）5．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． （新课标全国Ⅱ卷）6．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．      (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． （全国乙卷数学(理)（文））7．如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（    ）    A．24 B．26 C．28 D．30 （全国乙卷数学（文））8．已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． （全国乙卷数学(理)（文））9．如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. （全国乙卷数学(理)）10．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． （全国乙卷数学(理)）11．已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． （全国甲卷数学（文））12．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ） A．1 B． C．2 D．3 （全国甲卷数学（文））13．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________． （全国甲卷数学（文））14．如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． （全国甲卷数学（理））15．在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（    ） A． B． C． D． （全国甲卷数学（理））16．在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________． （全国甲卷数学（理））17．在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距离为1．    (1)求证：； (2)若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值． （新高考天津卷）18．在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． （新高考天津卷）19．三棱台中，若面，分别是中点.    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 一、多选题 1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图所示，该几何体由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若平面与平面的交线为，则AC//l C．三棱柱的外接球的表面积为 D．当该几何体有外接球时，点到平面的最大距离为 2．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面为矩形，，，，．下列说法正确的是（    ） A．设平面平面，则 B．平面平面 C．设点，点，则的最小值为 D．在四棱锥的内部，存在与各个侧面和底面均相切的球 3．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知正方形的边长为2，是平面外一点，设直线与平面所成角为，三棱锥的体积为，则下列命题中正确的是（    ） A．若平面平面，则 B．若平面平面，则 C．若，则的最大值是 D．若，则的最大值是 4．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（    ）    A．存在点，使得与异面 B．不存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最小值为 D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为 二、单选题 5．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等．若直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜棱柱的体积和侧面积分别为和，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系无