第14讲 双曲线（十大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第14讲 双曲线 【题型归纳目录】 题型一：双曲线的定义、条件 题型二：求双曲线的标准方程 题型三：双曲线的综合问题 题型四：轨迹方程 题型五：双曲线的简单几何性质 题型六：求双曲线的离心率 题型七：求双曲线离心率的取值范围 题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围 题型九：双曲线中的范围与最值问题 题型十：焦点三角形 【知识点梳理】 知识点一：双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二：双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2． 5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三：求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点四：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 范围 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a． 对称性 对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率． 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点四：