2023年全国一卷新高考题型分类S1-3——圆锥曲线（大题）13

2023年全国一卷新高考题型分类S1-3 ——圆锥曲线（大题）13 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 圆锥曲线——大题13： （2023年粤J43深圳德琳）中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国.后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合.将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓.如图，一张圆形纸片的圆心为点D，A是圆外的一个定点，P是圆D上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合，然后展平纸片，折痕与直线DP相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹. （1）证明：点Q的轨迹是双曲线；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义即可证得结果. （2）利用直线与双曲线的位置关系即可求得结果. 【小问1详解】 证明：设圆D半径为r，由题意知， 所以， 因此，动点Q到定点A和D的距离之差的绝对值为定值r，且， 由双曲线定义知，点Q的轨迹是以A，D为焦点的双曲线. 【小问2详解】 由（1）知双曲线中，，设双曲线方程为， 又点在双曲线上，，解得，因此双曲线方程为， 渐近线为，则. ①直线l斜率不存在，此时为顶角为的等腰三角形，且，所以； ②若直线l斜率存在，设为：，联立双曲线，得： . 因为直线l交双曲线于y轴右侧于两点， 所以，且，；解得或. 设，，联立直线和渐近线方程解得：，， 所以，， ， 令，， 当时，，单调递增，且，此时. 当时，，单调递减，当时，，单调递增所以的极小值为，此时. 综上所述，面积的最小值为，此时且，即直线l与双曲线相切. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中关于最值的求解方法主要有：①二次函数型，利用二次函数最值求解；②基本不等式法，借助基本不等式求解最值；③导数法，利用导数求解最值. ] （2）设定点A坐标为，纸片圆的边界方程为.若点位于（1）中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求面积的最小值. （2023年粤J41深圳适应性）已知定点，关于原点对称的动点，到定直线的距离分别为，，且，记的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线？（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）曲线的方程为或，曲线是以点，为焦点，长轴长为的椭圆与轴组成的曲线 （2）比值为1 【解析】 【分析】（1）设，由直接列式化简可得； （2）先证直线直线的交点也是直线与直线的交点，则有，，由即可求解. 【小问1详解】 设，. 由有，， 两边平方得，化简得， 即曲线的方程为或. 曲线是以点，为焦点，长轴长为的椭圆与轴组成的曲线. 【小问2详解】 设直线与椭圆相交于，两点，则，. 令，将代入并整理得，，，. 直线的方程为：. 设，则， 同理直线与直线相交于点， ，其中. 从而，与重合. 因为，所以. 又，，则. 所以与面积的比值为1. ] （2）已知点，是直线与曲线的两个交点，，在轴上的射影分别为，（，不同于原点），且直线与直线相交于点，求与面积的比值. （2023年粤J30广州冲刺）已知圆，椭圆的左右焦点为，如图为圆上任意一点，过分别作椭圆两条切线切椭圆于两点. （1）若直线的斜率为2，求直线的斜率；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1） （2）存在，最大值为 【解析】 【分析】（1）设，切线，由点在圆上并联立切线与椭圆方程，根据得到关于k的一元二次方程，应用韦达定理得，即可得直线的斜率； （2）讨论切线斜率的存在性，求得的方程为，进而易得直线为，写出直线方程并求交点，确定椭圆轨迹方程，根据椭圆交点三角形性质求的面积最大值. 【小问1详解】 设，切线，则， 由得：， 由得：， 设切线的斜率分别为，则， 又直线的斜率为2，则直线的斜率为. 【小问2详解】 当切线斜率都存在时，设， 切线方程为， 由（1）得： 由点在椭圆上，得代入得：，即， 切线的方程为， 由于在切线上，则，所以直线为， 由得：直线方程为，联立直线， 解得， 由得：点轨迹方程为，且焦点恰为， 当切线斜率有一个不存在时，不妨设斜率不存在，且， 直线方程方程为，解