2023年全国一卷新高考题型分类S1-3——圆锥曲线（大题）10

2023年全国一卷新高考题型分类S1-3 ——圆锥曲线（大题）10 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 圆锥曲线——大题10： （2023年湘J67名校演练）已知抛物线：，：相交于点，在第一象限内一点处的切线交于两点，交轴于点，在处的切线交于点． （1）证明：当面积最小时，为中点；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线相交于点求出两条抛物线的方程，设，及，然后用参数表示出的面积，求出面积最小时的取值，得出点的坐标，可知为中点；（2）设出直线的方程，依次求出的方程，点的坐标，点的坐标，可求出直线的方程，然后根据韦达定理，用参数表示出的面积，求其取得最小值时的值，即可求出的坐标. 【小问1详解】 将代入，， ：，： 设，处切线： 设， ， ：，： ，即 ： ，点到距离 令，，所以最小时， 而为中点 当面积最小时，为中点． 【小问2详解】 ，即， ，与轴交点 联立 ， ： 联立 则 令， 所以当最小时，，故. ] （2）过作的垂线交于另一点，连接交于另一点，当面积最小时，求点的坐标． （2023年湘J68九校二联）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4. （1）求椭圆的标准方程；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得，设点结合椭圆方程整理得，根据题意分类讨论求得，即可得结果； （2）设直线及的坐标，根据题意结合韦达定理分析运算，注意讨论直线的斜率是否存在. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，得， 设点为椭圆上一点，则，则， 因为，所以， ①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得； 综上所述：，则， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①当斜率不存在时，设且，则， 则直线为，令，得， 即， 同理可得. ∵与关于轴对称，则， 解得，矛盾； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 设，其中且， 联立方程组，消去化简可得， ，则， 所以， 由，可得， 所以直线的方程为，令，得， 即， 直线的方程为，令，得， 即， 因为和关于轴对称，则， 把代入上式，则， 整理可得，则， ∵，则，可得， 化简可得， 则直线的方程为，即， 所以直线过定点； 综上所述：直线过定点. 【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． ] （2）点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于点）.求证：直线过定点. （2023年湘J70名校二演）已知椭圆C：的上顶点为B，O为坐标原点，为椭圆C的长轴上的一点，若，且△OPB的面积为． （1）求椭圆C的标准方程；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1） （2）证明见解析，定点为，△AMN面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意得到与，从而求得，由此得解； （2）结合题意设直线MN的方程为，联立椭圆C的方程得到，进而得到，结合即可得到关于的方程，从而证得直线MN过定点，再利用，结合对勾函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 由已知，得，即， 又因为，所以，即， 解方程组，得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可知，直线MN的斜率不为0，设，直线MN的方程为， 联立，消去，得， 所以，， 则， 因为，所以，即， 所以， 即，解得或， 因为当时，直线的方程为，则直线经过，不符合题意， 所以，满足，此时直线的方程为，所以直线过定点， 记直线与轴的交点为，则点坐标为， 当时，， ， 令， 令，则，故在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时，△AMN面积取得最大值. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹. ] （2）椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN的斜