2023年全国一卷新高考题型分类S1-3——圆锥曲线（大题）9

2023年全国一卷新高考题型分类S1-3 ——圆锥曲线（大题）9 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 圆锥曲线——大题9： （2023年长沙雅礼一模）已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点． （1）点为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l是否过定点，并说明理由；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）直线l过定点； （2） 【解析】 【分析】（1）利用点在椭圆上和直线斜率公式即可证得直线l过定点； （2）利用三角函数设出A，B两点坐标，再利用题给即可求得，进而得到点Q的轨迹方程． 【小问1详解】 直线过定点，下面证明： 设，，， 又，，∴， ∴直线过原点满足． 又当PA两点固定时为定值，有且仅有一个斜率值与之相乘之积为， 则直线重合，则重合， ∴直线l过定点． 【小问2详解】 设，，，不妨设， ∴，，又点A，B在椭圆上， ∴，， ∴，，两式相加得， 由， 得， ∴点Q的轨迹是以点O为圆心以为半径的圆， ∴点Q的轨迹方程为． ] （2）若．过点O作，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程． （2023年湘J10长沙四校）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点． （1）求C的方程；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）设，，，直线l的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，，再根据，求出的关系，即可得出结论. 【小问1详解】 设C的焦距为2c，则，即，，， 由双曲线的定义，得， 即，所以， 故C的方程为； 【小问2详解】 设，，，直线l的方程为， 联立，整理得， 由题意，得，则， 则，， ， 设MN的中点为，则，， 所以线段MN的垂直平分线的方程为， 令，得，即，所以， 由题意，得，即，从而， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或， 所以直线l的方程为，或，或，或， 故直线l过四个定点中一个． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中直线过定点问题通法，是先设出直线方程（或），通过韦达定理和已知条件若能求出为定值可得直线恒过定点，若得到和的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点. ] （2）不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个． （2023年湘J23邵阳二模）已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且． （1）求双曲线的方程；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1） （2）以线段为直径的圆过定点和． 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解， （2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解. 【小问1详解】 ∵双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，而，∴． ∴双曲线的方程为． 依题意直线的方程为． 由 消去y整理得：， 依题意：，，点A，B的横坐标分别为， 则． ∵，∴． ∴，∴． 即，解得或（舍去），且时，， ∴双曲线的方程为． 【小问2详解】 依题意直线斜率不等于0，设直线的方程为． 由消去整理得：， ∴，． 设，，则，． 直线的方程为，令得：，∴． 同理可得．由对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上， 设该定点为，则，， 故 ． 解得或． 故以线段为直径的圆过定点和． 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高. ] （2）过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． （2023年湘J26邵阳三模）已知椭圆C：的离心率为，且过点. （1）求椭圆C的标准方程；（[endnoteRef:5]） [5: 【答案】（1） （2）为定值， 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果； （2）根据题意分析可得，分类讨论直线的斜率是否存在，根据点在椭圆上，利用韦