2023年全国一卷新高考题型分类S1-3——圆锥曲线（大题）7

2023年全国一卷新高考题型分类S1-3 ——圆锥曲线（大题）7 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 圆锥曲线——大题7： （2023年苏J37扬州中学）已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且. （1）求的面积；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1） （2）为定值.· 【解析】 【分析】（1）设，根据两点间长度得出与，即可根据已知列式解出，即可得出答案； （2）根据第一问得出双曲线的方程，设，直线l的方程为，根据韦达定理得出，即可根据直线方程得出与，则根基两点斜率公式得出，化简代入即可得出答案. 【小问1详解】 依题意可知，， 则， ， 又，所以， 解得（舍去）， 又，所以， 则， 所以的面积. 【小问2详解】 由（1）可，解得， 所以双曲线C的方程为， 设，则，则，， 设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：， 由，得， 由一元二次方程根与系数的关系得， 所以， ， 则， 故为定值.· ] （2）若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （2023年苏J44盐城亭湖）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点． （1）设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1） （2）直线l过定点(，0) 【解析】 【分析】（1）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，根据M为PQ的中点，利用点差法求解； （2）根据＝，得到APQ是以A为直角顶点的直角三角形，则AP⊥AQ，然后直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在时，将直线方程y＝kx＋m，与双曲线方程－＝1联立，由(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0结合韦达定理求解. 【小问1详解】 解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)， 因为P、Q在双曲线上， 所以－＝1，－＝1， 两式作差得－＝0， 即＝， 即＝， 即k1·k2＝； 【小问2详解】 因为＝， 所以APQ是以A为直角顶点的直角三角形，即AP⊥AQ； ①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，代入－＝1得，y＝±b， 由|t－a|＝b得，(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0， 即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0， 得t＝或a(舍)， 故直线l的方程为x＝； ②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，代入－＝1， 得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0， Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－； 因为AP⊥AQ， 所以·＝0， 即(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0， 即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0， 即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0， 即＝0， 即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0， 即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0， 所以k＝－或k＝－； 当k＝－时，直线l的方程为y＝－x＋m，此时经过A，舍去； 当k＝－时，直线l的方程为y＝－ x＋m， 恒过定点(，0)，经检验满足题意； 综上①②，直线l过定点(，0)． ] （2）若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由． （2023年苏J45盐城三模）在平面直角坐标系中，过椭圆：上的动点作轴的垂线，垂足为点，，. （1）求椭圆的方程；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设，则，根据向量数量关系的坐标表示得，利用两点距离公式求椭圆轨迹方程； （2）（法一）联立直线与椭圆，应用韦达定理得、，结合向量关系得，进而有，将韦达式代入得到恒等式求参数k； （法二）同方法一，根据向量关系得到，韦达式代入恒成立，求参数k； （法三）根据题设向量关系有，设，