2023年全国一卷新高考题型分类S1-3——圆锥曲线（大题）6

2023年全国一卷新高考题型分类S1-3 ——圆锥曲线（大题）6 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 圆锥曲线——大题6： （2023年苏J04南京盐城一模）已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点. （1）求双曲线的方程（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由离心率为可得，再联立直线与双曲线利用判别式可得的方程； （2）设方程，及的坐标，由过A引的垂线交C于另一点H，可得点H为.再证即可. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为，所以，即， 所以双曲线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去得， 即， 因为与双曲线C仅有一个公共点， 所以， 解得, 故双曲线的方程为. 【小问2详解】 设，，则满足 消去得， 所以，， 如图所示，过A引的垂线交C于另一点H， 则AH的方程为. 代入得，即（舍去）或. 所以点H为. 所以 ， 所以， 故为的垂心，得证. 【点睛】关键点睛：本题考察直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题.先求一条垂线与双曲线的交点，再证另两条过交点的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想. ] （2）设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上. （2023年苏J06南京二模）已知拋物线和圆．（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示得到，再根据重要不等式计算可得； （2）设，，，即可得到、的方程，由点到直线的距离公式得到、为方程的两根，即可得到，由可得，由斜率之积为，求出，即可得解. 【小问1详解】 拋物线的焦点为，准线为，则， 设方程为，，， 由，消去整理得，所以，， 所以，， 则 ，当且仅当时取等号， 即的最小值为. 【小问2详解】 设，，， 则，， 圆的圆心为，半径， 所以，则， 同理可得， 所以、为方程的两根， 所以，又，所以， 所以，即，解得， 所以点坐标为或. ] （1）若抛物线的准线与轴相交于点，是过焦点的弦，求的最小值； （2）已知，，是拋物线上互异的三个点，且点异于原点．若直线，被圆截得的弦长都为2，且，求点的坐标． （2023年苏J07南京一中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆E截抛物线的准线得到的弦长为3． （1）求椭圆E的标准方程；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1） （2）可以在同一个圆上，和 【解析】 【分析】（1）由抛物线焦点坐标得，抛物线准线方程代入椭圆方程求得弦长，从而可求得，得椭圆方程； （2）由题意可知当斜率均存在且不为0时，可设直线l为，直线m为，其中，，，，， 直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，若A、B、C、D四个点可以在同一个圆上，则，用直线上的弦长公式表示后，代入（同理得的相减表达式），从而求得值，得直线方程． 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，由已知得， ，，， 所以，即，，解得，， 则椭圆E的标准方程为． 【小问2详解】 因为两条不同的直线m与l直线均过椭圆的右焦点，且互相垂直， 由题意可知当斜率均存在且不为0时，可设直线l为，直线m为，其中， ，，，， 将直线l的方程代入椭圆方程得， ， 所以，， 若A、B、C、D四个点可以在同一个圆上， 则， 所以， 所以， 所以， ， 同理， 所以， 则，所以， 此时存在这样的直线m与直线l，其方程为和． 当直线l的斜率为0或斜率不存在时，A，B，C，D显然不在同一个圆上． 综上，存在这样直线m与直线l，其方程为和． ] （2）设两条不同的直线m与直线l交于E的右焦点F，且互相垂直，直线l交椭圆E于点A，B，直线m交椭圆E于点C，D，探究：A、B、C、D四个点是否可以在同一个圆上？若可以，请求出所有这样的直线m与直线l；否则请说明理由． （2023年苏J08南京临江二模）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为． （1）求点的轨迹的方程；（[endnoteRef:5]） [5: 【答案】（1）