2023年全国一卷新高考题型分类S1-3——圆锥曲线（大题）4

2023年全国一卷新高考题型分类S1-3 ——圆锥曲线（大题）4 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 圆锥曲线——大题4： （2023年鲁J12烟台二模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆C的方程；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1） （2）证明过程见详解 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率得到，然后根据椭圆过点即可求解； （2）由（1）可知，点,点,设， 设直线，联立方程组，利用韦达定理和平面向量的数量积等于零即可证明. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，则，所以， 则椭圆方程可化为，因为点在椭圆上，所以， 则，所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，点,点, 设，设直线， 联立有，整理可得， ，，， 则，； ，； 分别令可得，， 当时，直线，则, ，则的中点为，且, 所以以为直径的圆的方程为， 则圆过点和； 猜测点为所求定点，下面证明当时，以为直径的圆过点， 若点，则 ，（也可以从去推导定点） 若点，则 ，（也可以从去推导定点） 所以以为直径的圆过定点和. 【点睛】求定点问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点． ] （2）设点A，F分别为椭圆的左顶点和右焦点，过点F的直线l交C于点M，N，直线，分别交直线于点P，Q，求证：以为直径的圆过定点． （2023年鲁J13烟台适应）在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线与l的斜率乘积为． （1）求证：直线过定点，并求此定点D的坐标； （2）过M作l的垂线交椭圆于A，B两点，过D作l的平行线交直线于H，记的面积为S，的面积为T．（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）证明见解析，定点 （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，由题意和导数的几何意义、两点求斜率公式可得，结合点斜式方程求出直线PQ方程，即可求解； （2）设，直线过定点N，由题意，，求出直线AB方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示， 换元法，对化简，利用导数研究函数的性质即可求解；设G为中点，结合圆的有关性质即可证明. 【小问1详解】 设，因为，所以l斜率， 所以直线斜率，即， 所以， 所以的方程为，即， 所以直线过定点； 【小问2详解】 ， l的方程为，令，得， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点． 将与联立，得． 显然，设，则． 所以， ， 所以， 令，则， 设，则． 令，得（负根舍去），当时，单增； 当时，单减；所以当时，取得最大值， 即取得最大值，此时P的纵坐标为． 证明：因为直线过定点平行于l，所以， 所以点H在以为直径的圆上． 设G为中点，则，且， 所以存在定点，使得为定值． 【点睛】关键点点睛：求解定值问题常见的方法一般有两种，从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．或直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． ] ①当取最大值时，求点P的纵坐标； ②证明：存在定点G，使为定值． （2023年鲁J20滨州邹平一中）已知双曲线的两条渐近线分别为，. （1）求双曲线E的离心率；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】(1) (2)见解析. 【解析】 【分析】（1）因为双曲线E的渐近线分别为，，求得，再根据离心率的定义，即可求解. （2）解法一 由（1）知，当轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，根据的面积为8，解得，得到双曲线的方程，再利用直线与双曲线的位置关系，证得当直线l不与x轴垂直时，也满足题意； （2）解法二 由（1）知，设直线l的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系和题设条件，化简求得，得到，即可求解. 【详解】（1）因为双曲线E的渐近线分别为，， 所以，所以，故，从而双曲线E的离心率. （2）解法一 由（1）知，双曲线E的方程为. 设直线l与x轴相交于点C. 当轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则，， 又因为的面积为8，所以，因此，解得. 此时双曲线E的方程为. 若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为. 线面证明当直线l不与x轴垂直时，此时双曲线的方程满足条件， 当直线l不与x轴垂直时，双曲线