2023年全国一卷新高考题型分类S1-3——圆锥曲线（大题）3

2023年全国一卷新高考题型分类S1-3 ——圆锥曲线（大题）3 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 圆锥曲线——大题3： （2023年粤J90某地二模）已知A，B是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足，其中λ是常数，且． （1）设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合斜率分析可得，即可得结果； （2）根据题意利用韦达定理求弦长，可得面积，结合二次函数分析运算. 【小问1详解】 因为，且P，A，C共线，P，B，D共线，所以， 所以直线AB和直线CD的斜率相等，即， 设，，，， 则点M的横坐标，点N的横坐标， 由，得， 因式分解得，约分得， 所以，即， 所以MN垂直于x轴． 【小问2详解】 设，则，且， 当时，C为PA中点，则，， 因为C在抛物线上，所以，整理得， 当时，D为PB中点，同理得， 所以是方程的两个根， 因为， 由韦达定理得，， 所以，所以PM也垂直于x轴， 所以， 因为， 所以 ，， 当时，取得最大值， 所以， 所以四边形ABDC面积的最大值为． 【点睛】方法定睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．] （2）若点P为半圆上的动点，且，求四边形ABDC面积的最大值． （2023年粤J96三月模拟）已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形. （1）求椭圆标准方程；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点和点，点和点中有两个点为左顶点和右顶点两种情况，求出，得到椭圆方程； （2）设出，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，求出弦长，进而利用点到直线距离求出面积. 【小问1详解】 当点，点和点为椭圆的顶点时，恰好构成边长为2的等边三角形， ①当点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，不妨设点，点为上顶点和下顶点，点为右顶点，此时，， ②当点，点和点中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，不妨设点，点为左顶点和右顶点，点为上顶点，此时，（舍去）， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设， 因为， 所以， ①当直线斜率不存在时， 即，则， 因为点在椭圆上，所以，则有， 所以，点到的距离为， 此时. ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立得消去整理得， 满足， 由韦达定理得， 所以， 所以， 又因为点在椭圆上， 所以， 化简得， 所以 ， 所以点到直线的距离， 所以 综上所述，的面积为. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交，设交点为，则弦长公式为：或. ] （2）若为原点，且满足，求的面积. （2023年粤J97潮州二模）已知椭圆过点和点，的上顶点到直线的距离为2，如图过点的直线与，轴的交点分别为，，且，点，关于原点对称，点，关于原点对称，且. （1）求的长度；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先根据点到直线的距离求出，再根据椭圆所过的点求出，即可求出椭圆方程为，根据点在椭圆上，可得，设过点的直线方程为，分别求出两点的坐标，再根据两点之间的距离公式即可得解； （2）根据，结合（1）可得直线的方程为，联立方程，求出，再利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再根据四边形面积化简整理即可得解. 【小问1详解】 的上顶点到直线的距离，解得， 又椭圆过点， 则，解得， 所以椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以， 由题意直线的斜率存在， 设过点的直线方程为， 令，则，令，则， 即， 由，得， 所以，所以， 所以 ； 【小问2详解】 由（1）得直线的斜率， 因为，所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得，所以， 所以， 点到直线的距离， 又因，所以，