2023年全国一卷新高考题型分类2-8——立体几何（大题）10

2023年全国一卷新高考题型分类2-8 ——立体几何（大题）10 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 立体几何——大题10： （2023年湘J70名校二演）如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点． （1）证明：；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面ABC⊥平面，通过面面垂直的性质证明线面垂直，再证得线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法解决二面角的余弦值，解得，可得三棱柱的体积. 【小问1详解】 平面ABC⊥平面，平面平面， 菱形中，，为等边三角形，O是AC的中点，， 平面，平面，平面，. 【小问2详解】 平面，，， 以点O为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，，设， 则，，，，， ， · ， ， ， 设平面法向量是， 由，令，，得 设平面的法向量是 ， 由，令，，可得 ， 所以，由，解得， ，， 三棱柱的体积为. ] （2）若二面角的余弦值为，求三棱柱的体积． （2023年湘J71名校演练）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，侧面是等腰三角形，. （1）求证：；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直，即可证明； （2）建立平面直角坐标系，得到各点的坐标，设出点坐标，求出平面与平面的法向量，通过两平面夹角的余弦值即可求得实数的值. 【小问1详解】 由题意， 在四棱锥中，取的中点为，连接，， 在等腰中，，∴， 在直角梯形中， ，，，， ∴,,，四边形是矩形， ∴，，，， ∴，,, ∵面，面，面，， ∴面， ∵面, ∴. 【小问2详解】 由题意及（1）得，，，，， 在四棱锥中，侧面底面，面底面， ∴， ∵侧棱与底面所成角的正切值为， 设， ∴由几何知识得，，四边形是平行四边形， ∴,， 在直角中，，， ∴， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴，，，，，， ∵为侧棱上的动点，且， 设 由几何知识得，，解得：， 在面中，其一个法向量为， 在面中，，， 设平面的法向量为， 则，即，解得： 当时，， 设平面与平面的夹角为 ∵平面与平面的夹角的余弦值为 ∴ 解得：或（舍） ∴存在实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为. ] （2）若侧面底面，侧棱与底面所成角的正切值为，为侧棱上的动点，且.是否存在实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出实数若不存在，请说明理由. （2023年鄂J02武汉五月模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. （1）求证：平面平面PBC；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，利用法向量夹角的余弦公式，求余弦值的最大值. 【小问1详解】 中，E为PB的中点，所以. 在正方形ABCD中，. 因为平面ABCD，平面ABCD，即. 又因为，平面PAB，所以平面PAB. 平面PAB，即，又因为，，平面PBC. 所以平面PBC，平面AEF， 即平面平面PBC. 【小问2详解】 因为平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以易知AB，AD，AP两两垂直. 以A为原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 有，，，，， PB中点，设，. ，，，. 设平面PCD的法向量，由， 得，取. 设平面的法向量，由， 得，取. 所以平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值为. 令，， 则， 所以当即时，平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值取得最大值， 此时平面AEF与平面PCD的夹角取得最小值. ] （2）求平面AEF与平面PDC夹角的最小值. （2023年鄂J03武汉二调）如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足. （1）证明：直线平面；（[endnoteRef:5]） [5: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）延长和交于点，连接交于点，连接