2023年全国一卷新高考题型分类2-8——立体几何（大题）9

2023年全国一卷新高考题型分类2-8 ——立体几何（大题）9 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 立体几何——大题9： （2023年湘J10长沙四校）如图，在三棱锥中，，，为点在平面上的射影，为的中点． （1）证明：∥平面；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行判定定理证明或先证明面面平行再证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，设的长度为（），使用空间向量求解即可. 【小问1详解】 方法一: 在平面内，过点作于点，连接，， ∵，则， 又∵平面，平面，∴平面． 又∵平面，平面，平面，∴，， 又∵，为公共边，∴， ∴，又∵为公共边，∴， ∴，为的中点， 又∵为的中点，∴为的中位线，， 又∵平面，平面，∴平面． 又∵，平面，平面，∴平面平面， 又∵平面，∴平面． 方法二: 延长，交于点，连接，, ∵平面，平面，平面，∴，， 又∵，为公共边，∴，∴， 又∵，∴是为直角，为斜边的直角三角形， ∴，即为的中点， 又∵为的中点，∴为的中位线，， ∵平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 过点作，以为原点，，，所在直线分别为轴,轴,轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由于，，则由第（1）问知， 又∵，∴，， ∴． ∴，，，，． ∴，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，，∴． 设（），则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，∴． 设二面角的平面角为，， 则， ∵，∴， 即二面角的正弦值为． ] （2）若，，，求二面角的正弦值． （2023年湘J23邵阳二模）如图所示，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，．平面平面，为的中点，，，E，F，G分别为，，的中点． （1）求证：平面平面；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理以及性质定理，结合面面垂直判定定理，可得答案； （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量计算公式，可得答案. 【小问1详解】 如图所示，取AO的中点H，连接HD，HP， 在等腰梯形中，，，，． ∵O为AB的中点，即有四边形是平行四边形， ∴，． ∴为正三角形，∴，． 在中，，， ∴为边长为2的正三角形，∴，． ∴，又F为FD的中点，∴． ∵，，，平面， ∴平面，即平面．∵平面，∴． 而G为PC中点，则，又∵，平面，∴平面． ∵平面PCD，∴平面平面． 【小问2详解】 ∵，平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∴由（1）知，PH，HD，AB两两垂直， 以H为坐标原点，HD，HB，HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 于是，，． 设平面的法向量为， 则即取，则， 设平面与平面所成锐二面角为， ∵为平面的一个法向量， ∴． ∴，． ∴平面与平面所成锐二面角的正切值为． ] （2）求平面与平面所成锐二面角的正切值． （2023年湘J26邵阳三模）如图所示，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD为菱形，，，E为线段上一点. （1）求证：；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定定理和性质即可证明； （2）根据线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量，由题意和向量的数量积的定义求出点E的坐标，结合线面角的定义即可求解. 【小问1详解】 连接， 底面为菱形，. 又平面平面. 又面， 平面.又平面. 【小问2详解】 设的中点为，连接，如图： 为等边三角形，，又，则. 又平面，则. 以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，， ， 设平面的一个法向量为， 令，则. 又平面的一个法向量为， 则. 又平面与平面的夹角的余弦值为， ， ，， . 直线与平面所成角的正弦值为. ] （2）若平面与平面ABCD的夹角的余弦值为，求直线BE与平面所成角的正弦值. （2023年湘J27邵阳一模）如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱BE的中点. （1）若上有一点N满足平面，确定点N的位置并证明；（[endnoteRef:5]） [5: 【答案】（1）点N为DE中点，证明见解析； （2）. 【