2023年全国一卷新高考题型分类2-8——立体几何（大题）7

2023年全国一卷新高考题型分类2-8 ——立体几何（大题）7 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 立体几何——大题7： （2023年苏J34常州戚墅堰）如图，在四棱锥E-ABCD中，，，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点． （1）求证：平面ABE；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取EC的中点的F，连接MF，NF，证得，得到，利用线面平行的判定定理得到平面，同理得到平面，证得平面平面，进而得到平面. （2）过E作交AB于O，证得平面ABCD，取CD的中点G，连接OG，以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：如图所示，取EC的中点的F，连接MF，NF， 因为M，F分别为ED和EC的中点，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 解：如图所示，过E作交AB于O， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面ABCD，故EO为四棱锥E-ABCD的高， 要使四棱锥E-ABCD体积最大，则E为弧的中点，所以O与AB的中点， 取CD的中点G，连接OG，因为，，所以， 因为平面ABCD，所以，，所以EO，AB，OG两两垂直， 以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系， 设，所以， 可得，，，则，， 设平面的一个法向量，则，可得， 令，则平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为，则， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二成角的余弦值为． ] （2）当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值． （2023年苏J37扬州中学）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且. （1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD． 由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD． 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD． （2）在平面内作，垂足为， 由（1）可知，平面，故，可得平面. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系. 由（1）及已知可得，，，. 所以，，，. 设是平面的法向量，则 即 可取. 设是平面的法向量，则 即可取. 则， 所以二面角的余弦值为. 【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角； ②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. ] （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值. （2023年苏J44盐城亭湖）如图，是圆的直径，是圆上异于，的一点，垂直于圆所在的平面，，，． （1）求证：平面平面；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）因为是圆的直径，可证，利用面面垂直的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解平面与平面的法向量即可求解. 【小问1详解】 ∵是圆的直径， ∴，又垂直于圆所在的平面，DC在圆所在的平面中， ∴，又，， ∴平面，又平面， ∴平面平面； 【小问2详解】 如图，以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则 ， 令，则， 设平面的法向量为，则 ， 令，则， ∴， ∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ] （2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． （2023年苏J45盐城三模）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，点为棱的中点，平面平面，. （1）求证：；（[endnoteRef:5]） [5: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，根据题意，，证得平面，进