2023年全国一卷新高考题型分类2-8——立体几何（大题）3

2023年全国一卷新高考题型分类2-8 ——立体几何（大题）3 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 立体几何——大题3： （2023年粤J96三月模拟）如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点. （1）证明：平面平面；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面平行及面面平行的判定定理即可完成证明, （2）方法一先建系求法向量，再利用向量法求两平面的夹角，方法二利用几何法找到面面角，利用三角形知识求两平面的夹角. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 所以， 又因为平面平面，所以平面， 因为点分别是中点，所以， 又因为平面平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 方法一：因为，所以， 由（1）知平面平面， 所以， 所以两两相互垂直， 如图，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 则， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 由， 得，即，解得， 取，得， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 方法二：因为平面平面，所以平面和平面的夹角即二面角. 如图，过点作，垂足为点，过点作交于点， 则为二面角所成平面角. 在中，， 在中，， 在直角梯形中，因为，,所以， 所以 在中，， 所以， 利用三角形等面积可得， 所以， 因为，所以， 过点作于，则， 所以， 在中，， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为. ] （2）若，求平面和平面夹角的余弦值. （2023年粤J97潮州二模）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可证得，，，四点共面，根据，证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 在图2中，由题意得， 所以， 所以图2中的，，，四点共面， 由已知得， 又平面， 所以平面， 又因平面，所以平面平面； 【小问2详解】 连接，在菱形中，，则为等边三角形， 取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. ] （1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面； （2）求图2中的直线与平面所成角的正弦值. （2023年粤J98大湾区联考）如图，在三棱台ABC—中，，平面平面 （1）证明：平面；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）证明见解析； （2）2. 【解析】 【分析】（1）在等腰梯形中，作，利用勾股定理得到，再利用面面垂直的性质定理得到，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，求出平面与平面的法向量，再利用二面角的大小是，即可求出. 【小问1详解】 在等腰梯形中，作，则，在中，，，， 在中，，解得， ，即 由平面平面，平面平面， 平面 ，平面 平面. 【小问2详解】 如图，在平面内，过点作，以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则 设平面的法向量为， 则，即，则 平面的一个法向量为 则，解得 即. ] （2）若二面角的大小是，求线段的长. （2023年粤J99东莞四中）如图：四锥中，，，，. （1）证明：平面；（[endnoteRef:5]） [5: 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）通过计算证明即可证明平面； （2）利用等体积法求点到平面距离 【详解】（1）由题：四锥中，，，， 即，， 所以，，由题， 是平面内两条相交直线， 所以证明平面； （2）由（1）可得：就是到平面的距离，设点B到平面的距离为， 三棱锥的体积：， 解得： 【点睛】此题考查根据计算得线线垂直证明线面垂直，利用等体积法求点到平面距离. ] （2）求点B到平面距离. （2023年粤J101四校联考）如图，四