2.7 探索勾股定理-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

 　　　　　２．７　探索勾股定理


● 经历探索勾股定理并验证勾股定理的过程． ● 掌握勾股定理,会用勾股定理解决简单的几何问 题和实际问题． ● 掌握勾股定理的逆定理,会用其逆定理判定一个 三角形为直角三角形． 　　　 J 知识点一　勾股定理 内容 (１)文字语言:直角三角形两条直角边 的平方和等于斜边的平方． (２)符号语言:如果a,b为直角三角形 的两条直角边的长,c为斜边的长,则 a２＋b２＝c２． 变形与应用 (１)变形:由a２ ＋b２ ＝c２ 可 以 得 到 a２＝c２－b２,b２＝c２－a２． (２)应用:在直角三角形中,已知任意 两 边 可 以 求 出 第 三 边,即 c ＝ a２＋b２ ,a＝ c２－b２ ,b＝ c２－a２． '. 　　(１)勾股定理只适用于直角三 角形． 　　(２)在利用勾股定理求边长时, 要分清直角边和斜边,若题目没有明 确指出直角边和斜边,则需分类讨论． 【例１】在△ABC 中,∠C＝９０°,AB＝c, BC＝a,AC＝b． (１)已知a＝１５,b＝２０,求c; (２)已知a＝４０,c＝４１,求b; (３)已 知c＝５０,a∶b＝７∶２４,求 △ABC 的面积． 解:(１)根据勾股定理,得a２＋b２＝c２, 所以c＝ a２＋b２ ＝ １５２＋２０２ ＝２５． (２)根据勾股定理,得a２＋b２＝c２, 所以b＝ c２－a２ ＝ ４１２－４０２ ＝９． (３)因为a∶b＝７∶２４, 所以设a＝７k,b＝２４k． 根据勾股定理,得a２＋b２＝c２, 所以c＝ a２＋b２ ＝ (７k)２＋(２４k)２ ＝ ２５k＝５０, 解得k＝２． 所以a＝１４,b＝４８． 所以S△ABC＝ １ ２ab ＝ １ ２×１４×４８ ＝３３６． ８９ 知识点二　勾股定理的 逆定理 > M  A (１)文字语言:如果三角形 中两边的平方和等于第三 边的平方,那么这个三角 形是直角三角形． (２)符号语言:如果a,b,c为三角形的 三边长,且a２＋b２＝c２,那么该三角形 是直角三角形,且c所对的角为直角． '. 　　(１)勾股定理的逆定理可以用来 判断一个三角形是否为直角三角形． 　　(２)勾股定理与其逆定理的区别 与联系: 　　①区别:勾股定理是直角三角形 的性质定理,而其逆定理是直角三角 形的判定定理; 　　②联系:勾股定理与其逆定理的 条件和结论正好相反,它们互为逆定 理,都与直角三角形有关． 　　(３)勾股定理的逆定理不能叙述 为“当斜边的平方等于两直角边平方 的和时,这个三角形为直角三角形”． 因为这样叙述就已经把待判定的三 角形当成了直角三角形． 【例２】判断满足下列条件的三角形是不 是直角三角形． (１)在△ABC 中,AC＝１２,AB＝２０, BC＝１６; (２)一个三角形的三边长a,b,c 满足 a２－b２＝c２． 解:(１)在△ABC 中,因为AC２＋BC２＝ １２２＋１６２＝２０２＝AB２, 所以 △ABC 是 直 角 三 角 形,∠C 是 直角． (２)因为三角形的三边长a,b,c 满足 a２－b２＝c２,即a２＝b２＋c２, 所以此三角形是直角三角形,且a 是 斜边长． 4 利用勾股定理的逆定理判定 直角三角形的三步法 　　(１)排序:先把三边按照大小顺 序排列． 　　(２)计算:计算较短两边的平方 和与最长边的平方． 　　(３)判断:若较短两边的平方和 等于最长边的平方,则该三角形是直 角三角形,否则不是． ９９ 类型一　利用勾股定理解决 线段长度问题 图２．７Ｇ１ 【题根 １】如 图２．７Ｇ１,在 Rt△ABC 中,∠C ＝ ９０°,AD 平 分 ∠CAB, DE ⊥AB 于 点 E,若 AC＝６,BC＝８,CD＝３． (１)求DE 的长; (２)求AB 的长及△ADB 的面积． 审题关键:(１)根据角平分线的性质, 得CD＝DE,从而得DE＝３． (２)首先利用勾股定理求出 AB 的 长,然后计算△ADB 的面积． 解:(１)因为AD 平分∠CAB,DE⊥AB, ∠C＝９０°,所以CD＝DE．􀀋 因为CD＝３,所以DE＝３． (２)在Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AB＝ AC２＋BC２ ＝ ６２＋８２ ＝１０, 所以△ADB 的面积为 １ ２AB 􀅰DE＝ １ ２×１０×３＝１５． 􀀋 角平分线上的点到角两边的距离 相等． >4 　　利用勾股定理求线段的长是勾 股定理的一个重要应用．当题目中没 有垂直条件时,一般要先作辅助线构 造直角三角形,再利用勾股定理求线 段的长． １．如图 ２．７Ｇ２,直角三角形纸片 ABC, ∠C＝９０°,AC ＝６,BC ＝８,折 叠 △ABC 的一角,使点B 与点A 重合, 展开得折痕DE,求BD 的长． 图２