2.4 等腰三角形的判定定理-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

２．４　等腰三角形的判定定理


● 掌握等腰三角形的判定定理． ● 能够区分等腰三角形的性质与判定方法,能综合 利用等腰三角形的性质与判定方法进行简单的推 理和计算． ● 能利用等边三角形的性质和判定方法进行简单的 推理和计算． 　　　 J 知识点一　等腰三角形的 判定方法 定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形． 判定定理 (１)文字语言:如果一个三角形有两个 角相等,那么这个三角形是等腰三角 形．也可以简单地说成:在同一个三角 形中,等角对等边． (２)符号语言:在△ABC 中,若∠B＝ ∠C,则AB＝AC． '. 　　(１)判断一个三角形是否为等腰 三角形,只需判断这个三角形中有没 有两条边相等或两个角相等． 　　(２)证明边相等、角相等通常需 要利用全等三角形或平行线的性质． 【例１】如图２．４Ｇ１,D 为∠BAC 的平分 线上一点,且DF∥AC 交AB 于点F． 求证:△AFD 为等腰三角形． 图２．４Ｇ１ 证明:因为DF∥AC, 所以∠DAC＝∠FDA． 又因为AD 为∠BAC 的平分线, 所以∠DAC＝∠BAD． 所以∠BAD＝∠FDA． 所以△AFD 为等腰三角形． 4 　　由“角平分线＋平行线”构造“等 腰三角形”是一种常见的题型．当题 目中出现角平分线与平行线时,应联 想到应用“等角对等边”判定等腰三 角形． 知识点二　等边三角形的 判定方法 定义法 三条边都相等的三角形是等边三角形． ７７ 判定定理 (１)三个角都相等的三角形是等边三 角形． (２)有一个角是６０°的等腰三角形是等 边三角形． '. 　　(１)“三个角都相等的三角形是 等边三角形”,也可理解为“有两个角 是６０°的三角形是等边三角形”． 　　(２)要证明一个三角形是等边三 角形,需要证明这个三角形三条边或 三个角都相等,一般是利用全等三角 形来证明． 【例２】如图２．４Ｇ２,在△ABC 中,点D,E 在线段BC 上,BD＝CE,∠B＝∠C, ∠ADB＝１２０°． 图２．４Ｇ２ 求证:△ADE 是等边三角形． 证明:因为∠B＝∠C, 所以AB＝AC(等角对等边)． 又因为BD＝CE, 所以△ADB≌△AEC(SAS)． 所以AD＝AE(全等三角形的对应边 相等)． 所以△ADE 是等腰三角形． 因为∠ADB＝１２０°, 所以∠ADE＝１８０°－∠ADB＝１８０°－ １２０°＝６０°． 所以△ADE 是等边三角形(有一个角 是６０°的等腰三角形是等边三角形)． 类型一　等腰三角形的性质 与判定方法的综合应用 图２．４Ｇ３ 【题根１】如图２．４Ｇ３,在 △ABC 中,AB＝AC, 过BC 上一点D 作BC 的垂线PD,交BA 的 延长线于点P,交AC 于点Q．判断△APQ 的 形状,并证明你的结论． 审题关键:由AB＝AC,知∠B＝∠C． 又因为PD⊥BC,所以∠B＋∠P＋ ９０°＝１８０°,∠C ＋ ∠CQD ＋９０°＝ １８０°．因此可得∠P＝∠CQD．又因 为 ∠CQD ＝ ∠AQP,所 以 ∠P ＝ ∠AQP,从 而 可 判 定 △APQ 的 形 状．本题也可以通过添加辅助线,利 用平行线的性质推导∠P＝∠AQP, 从而判断△APQ 的形状． 解:△APQ 是等腰三角形．证明如下: 方法１:在△ABC 中, 因为AB＝AC, 所以∠B＝∠C． ８７ 因为PD⊥BC, 所以∠B＋∠P＋９０°＝１８０°,∠C＋ ∠CQD＋９０°＝１８０°． 所以∠P＝∠CQD． 又因为∠CQD＝∠AQP, 所以∠P＝∠AQP． 所以△APQ 是等腰三角形． 方法２:如图２．４Ｇ４,过点A 作AE⊥ BC 于点E． 图２．４Ｇ４ 因为AB＝AC, 所以∠BAE＝∠CAE． 因为PD⊥BC,AE⊥BC, 所以AE∥PD． 所以∠BAE＝∠P, ∠CAE＝∠AQP． 所以∠P＝∠AQP． 所以△APQ 是等腰三角形． >4 　　当已知三角形是等腰三角形时, 通常作底边上的高,利用“三线合一” 的性质解决问题,这是常用的一种添 加辅助线的方法． 图２．４Ｇ５ １．(四 川 内 江 中 考)如 图 ２．４Ｇ５,AD 平分∠BAC, AD⊥BD,垂足为点 D, DE∥AC． 求证:△BDE 是等腰三角形． 类型二　等边三角形的性质 与判定方法的应用 图２．４Ｇ６ 【题根２】如图２．４Ｇ６, 点C 为线段AB 上 一 点,△ACM 和 △CBN 都是等边三 角形,连结AN,BM, 分别交CM,CN 于点E,F,连结EF． (１)求证:AN＝BM; (２)探究△CEF 的形状,并证明你的 结论． 审题关键:(１)由已知可证得△ACN≌ △MCB(SAS),得出AN＝BM． (２)由△ACM 和△CBN 都是等边 三角 形,得 ∠MCN ＝６０°