专题01 配方法的应用问题-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

专题01 配方法的应用问题 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值， 解： ∵， ∴当时，有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______． (2)用配方法因式分解：． (3)若，求的最小值． (4)已知，则的值为______． 阅读下列材料，解答问题． 材料：求代数式的最小值． 小明同学是这样解答的： 我们把这种解决问题的方法叫做“配方法”． 问题： (1)请按照小明的解题思路，把解答过程补充完整． (2)请运用“配方法”解决问题：若，求的立方根． 设x，y都是实数，请探究下列问题， (1)尝试：①当，时，，，． ②当，时，，，． ③当，时，，，． ④当，时，，，________2xy． (2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：求代数式的最小值． 【阅读理解】我们知道，所以代数式的最小值为0，可以用公式来求一些多项式的最小值． 例如：求的最小值问题 解：∵ ∵，∴， ∴的最小值为-8． 【类比应用】请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)类比：的最小值为_______． (2)探究：代数式有最______（填“大”或“小”）值为______． (3)拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？ 利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a－b）2＝a2－2ab+b2的特点可以解决很多数学问题． 解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式2x2+y2－8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b－25，求△ABC周长的最大值． 数学课上,老师展示了这样一段内容． 问题 求式子的最小值． 解:原式: ∵, ∴, 即原式的最小值是2． 小丽和小明想,二次多项式都能用类似的方法求出最值（最小值或最大值）吗？ （1）小丽写出了一些二次三项式: ①;    ②;    ③; ④;    ⑤;    ⑥． 经探索可知,有最值的是__________（只填序号）,任选其中一个求出其最值; （2）小明写出了如下 3 个二次多项式: ①; ②; ③． 请选择其中一个,探索它是否有最值,并说明理由． 说明:①②③的满分分值分别为 3 分､4 分､5 分;若选多个作答,则以较低分计分． 阅读如下材料，完成下列问题： 材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例： ．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2． 材料二：对于实数a，b，若，则． 完成问题： （1）求的最小值； （2）求的最大值； （3）若实数m，n满足．求的最大值． 一、单选题 1．已知，，下列结论正确的是（    ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 2．把一元二次方程化成的形式时，的值为（    ） A．8 B． C． D．2 3．不论x，y取何值，代数式的值（　　） A．总不小于 B．总不大于 C．总大于2 D．总小于2 4．若，，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B 5．设为实数，则x、y、z    中至少有一个值（    ） A．大于 B．等于 C．不大于 D．小于 6．已知，，下列结论正确的个数为(   ) ①若是完全平方式，则； ②B－A的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．若（为实数），则的最小值为__________． 8．已知，则的值是_____． 9．若实数x，y满足关系式，则的最大值为______． 10．已知实数、满足，则代数式的最小值是 _____． 11．已知x，y，z为实数，满足，那么的最小值是___________ 12．若a，b，c满足，则________； 三、解答题 13．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：，利用配方法求的最小值， 解： ， 当时，有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______． (2)若，求的最小值． (3)已知，则的值为______． 14．∵，∴我们把形如的式子称为完全平方式．请解决下列问题： (1)代数式中，当　 　时，代数式为完全平方式； (2)代数式中，当　 　时，代数式为完全平方式； (3)代数式为完全平方式，求m的值． 15．【阅读材料】利用公式法，可以将