21.3 实际问题与一元二次方程-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

21.3 实际问题与一元二次方程 1.理解和掌握列一元二次方程解应用题的步骤； 2.理解和掌握常见应用题的类型：增长率问题、数字问题、销售利润问题等。 一、 列一元二次方程解应用题的步骤 1.列一元二次方程解应用题的步骤 (1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并找出能表示实际问题全部含义的相等关系。 (2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接)。 (3)列：是指列方程，根据相等关系列出方程。 (4)解：就是解所列方程，求出未知量的值。 (5)验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去。 (6)答：即写出答案，不要忘记单位名称。 2.常见应用题类型 (1)数字问题 解有关数字问题的应用题，首先要能正确地表示诸如多位数、奇偶数、连续的整数的形式。例如：一个三位数可表示为100a+10b+c，连续3个偶数可表示为2n-2，2n，2n+2(n为整数)等。其次，解这类问题的关键是正确而巧妙地设出未知量，一般采用间接设元法。 (2)增长率问题 增长率问题分正增长率问题与负增长率问题。这类问题是在原来的量的基础上增长(或降低)多少个百分比的问题。若设原来的产量为a，年平均增长率为x，则1年后的产量为a(1+x)，而两年后的产量又以a(1+x)为基础，因年平均增长率为x，可表示为a(1+x)(1+x)=a(1+x)²。同样，若x表示平均降低率，则1年后的产量为a(1-x)，两年后的产量为a( 1 - x)²。 也就是说，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义后，即可利用公式a( 1 + x)² = b求解，其中a<b。对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则用公式a( 1 - x)²=b即可求解，其中a>b。 (3)销售利润问题 在这类问题中，有进价(a)、售价(b)、利润(p)、件数(n)等相关的量，这些量之间的关系可用公式p=(b-a)n来表示，同时件数(n)又经常与售价(b)联系在一起。在解答此类问题时，一定要准确地找到反映它们关系的代数式，即利润问题主要用到的关系式是： ①每件利润=每件售价-每件进价；②总利润=每件利润×总件数。 为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有、两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司年每套型健身器材的售价为万元，年每套型健身器材的售价为万元，年每套型健身器材售价为万元，每套型，型健身器材的年平均下降率相同．求年到年每套型健身器材年平均下降率和年型健身器材的售价． 1．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率； (2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？ 2．“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017年投入10亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入14.4亿元资金用于保障性住房建设．求该市这两年投入资金的年平均增长率． 为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 1．某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价降低1元，则平均每月可多卖出20本．设每本科普读物的售价降低元． (1)小宇说：“既然降价销售，薄利多销，那么就有可能卖出600本．”请判断小宇的说法是否正确，并说明理由； (2)若该书店销售此科普读物想平均每月的销售利润为2860元，销售经理甲说：“在原售价的基础上降低3元，可以完成任务”，销售经