21.1 一元二次方程-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

21.1 一元二次方程 1.理解和掌握一元二次方程的概念； 2.理解和掌握一元二次方程的一般形式和特殊形式； 3.理解和掌握一元二次方程的根的含义。 一、一元二次方程的定义 1. 一元二次方程的定义 (1)定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。 (2)一元二次方程必须满足的3个条件 ①是整式方程，等号两边都是整式，即分母中不含未知数。 ②只含有1个未知数。 ③未知数的最高次数是2。 【理解与拓展】确定一个方程是不是一元二次方程，应把握以上3个条件，只有同时具备这3个条件的方程才是一元二次方程。 若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】m的值为． 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意得，， 由①得，， 由②得，， 所以，m的值为． 【点拨】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 1．判定下列方程是不是一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）先利用等式的性质对等式进行变形，再进行判断． （2）先利用等式的性质对等式进行变形，再进行判断． 【详解】（1）整理原方程，得 ， 所以． 其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． （2）整理原方程，得 ， 所以． 整理后不含二次项，即二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程． 2．若关于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的定义求出m的值，然后再代入不等式，解不等式即可． 【详解】解：是一元二次方程， ，， 解得：，， ， 原不等式变为：， ∴， 即． 二、一元二次方程的形式 1.一元二次方程的一般形式：我们把ax²+bx +c =0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式(又叫作标准形式)，其中ax²， bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 例如：在一元二次方程4x²-11x+16 =0中，4x²是二次项，-11x是一次项，16是常数项，二次项系数和一次项系数分别为4和-11。 2.一元二次方程的特殊形式 在一元二次方程ax²+bx+ c =0中，因为ax²是二次项，所以a≠0，但是b，c均可为零。一元二次方程的特殊形式如下： ①当a≠0，b=0时，ax²+ c=0 。 ②当a≠0，c=0时，ax²+bx=0。 ③当a≠0，b=c=0时，ax²=0 。 【理解与拓展】任何一个一元二次方程经过整理，都可以化成一般形式；二次项系数、一次项系数和常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式；二次项系数、一次项系数、常数项除数值外，还必须带符号。 将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)． 【答案】(1)二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2 (2)二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】（1）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可； （2）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵化为一般形式为， ∴二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2； （2）∵化为一般形式为 ， ∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为． 【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 1．把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ，，． 【分析】先括号、移项、合并、系数化为1得，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解． 【详解】去括号，得 移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ，，． 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) 【答案】(1)，这个方程的二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是 (2) ，这个方程的二次项系数是 ，一次项系数是2，常数项是5 【分析】根据一元二次方程的定义，形如（a、b、c为常数，）的整式方程叫做一元二次方程，其中a为二次型系数，b为一次项系数，c为常数项． 【详解】（1）， 移项得：， 二