1.5 二次函数的应用-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

１．５　二次函数的应用 利用二次函数模型解决 实际问题的常见类型 (１)求最大(小)值(如求最 大利润、最大面积、最优方 案、最小周长等); (２)抛(投)物体、拱桥等抛 物线形问题． 理论结合实际,利用二次 函数解决实际应用问题 利用二次函数模型解决 实际问题在生活中很常 见．解 决 此 类 问 题 的 关 键是正确理解实际问题 与模型的对应关系,找 到实际问题中的情况对 应的模型中自变量或函 数值的取值情况． 知识点　二次函数的实际应用 用二次函数解决实际问题的基本思路 运用二次函数解决实际问题,实际上是利用问题中的 数量关系构造出y＝ax２＋bx＋c或y＝a(x－h)２＋k 或y＝a(x－x１)(x－x２)(a≠０)等二次函数模型,再 利用二次函数的图象和性质去解决问题． 利用二次函数解决实际问题的一般步骤 阅读并理解问题 　　　　↓ 分析问题中的变量与常量以及它们之间的关系 　　　　↓ 采用适当的平面直角坐标系,建立二次函数模型,写出二次 函数的表达式 　　　　↓ 借助二次函数的图象和性质求解 　　　　↓ 检验结果的合理性,必要时进行合理的取舍 　　　　↓ 明确结果,确定答案 【例】一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(单位: m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间具有函数 关系h＝at２＋１９．６t,已知足球被踢出后经过４s落地,则 足球距地面的最大高度是　　　　m． 解析:由题意,得t＝４时,h＝０, 所以０＝１６a＋１９．６×４, 解得a＝－４．９, 所以h＝－４．９t２＋１９．６t, 所以足球距地面的最大高度是 ４×(－４．９)×０－１９．６２ ４×(－４．９) ＝１９．６ (m)． 答案:１９．６ ８４ 题型一　利用二次函数解决最值问题 几何图形中的最值问题 【例１】(浙江绍兴中考改编)例题:有一个窗户形状如图 １．５Ｇ１,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果制作 窗框的材料总长为６m,如何设计这个窗户,使透光 面积最大? 最大值是多少? 这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为０．３５m 时,透光面积最大,约为１．０５m２． 我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方 形组成的矩形,如图１．５Ｇ２,材料总长仍为６m,利用 图１．５Ｇ３解答下列问题: (１)若AB 为１m,求此时窗户的透光面积; (２)与例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最 大值有没有变大? 请通过计算说明． 　图１．５Ｇ１　　　　 　图１．５Ｇ２　　　　　图１．５Ｇ３ 审题关键:根据题意列出函数的表达式,利用二次函 数求最值． 破题思路:(１)根据矩形和正方形的周长及面积公式 进行解答． (２)设AB 长为x m,列出二次函数的表达式,利用 配方法求最值解决问题． 解:(１)由已知,可得 AD＝ ６－１－１－１－ １ ２ ２ ＝ ５ ４ (m), 所以S＝１× ５ ４＝ ５ ４ (m２)． １．(四川内江中考)某中学 课外兴趣活动小组准备 围建一个矩形苗圃园,其 中一边靠墙,另外三边用 长为３０m 的篱笆围成．已 知墙长为１８m(如图１．５Ｇ ４所示),设这个苗圃园垂 直于墙的一边长为x m． 图１．５Ｇ４ (１)若 苗 圃 园 的 面 积 为 ７２m２,求x． (２)若平行于墙的一边长 不小于８m,这个苗圃园 的面积有最大值和最小 值吗? 如果有,求出最大 值和最小值,如果没有, 请说明理由． ９４ (３)当这个苗圃园的面 积不小于１００m２ 时,直 接写出x 的取值范围． (２)设AB＝x m,则AD＝ (３－ ７ ４x)m． 因为３－ ７ ４x＞０ , 所以０＜x＜ １２ ７． 设窗户面积为S,由已知,得 S＝AB􀅰AD＝x(３－ ７ ４x) ＝－ ７ ４x ２＋３x＝－ ７ ４ (x－ ６ ７) ２ ＋ ９ ７ , 因为x＝ ６ ７ 在０＜x＜ １２ ７ 的范围内, 所以当x＝ ６ ７ 时,S 取得最大值,且S最大值 ＝ ９ ７ m ２＞ １．０５m２, 所以与例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的 最大值变大． " 几何图形中求最值,常用建立函数关系的方法 几何图形中的最值问题,一般都是利用二次函 数的最值求解,根据几何图形建立二次函数的表达 式是解题的关键． 一般在几何图形中建立函数关系有如下常用 方法: (１)面积法:利用几何图形面积公式建立函数 关系． (２)勾股法:利用勾股定理建立函数关系． (３)和差法:利用图形面积的和或差表示其他 图形的面积,从而建立函数关系．
利润最大问题 【例２】某年国际风筝节期间,王大伯决定销售一批风筝, 经市场调研:蝙蝠型风筝进价每个为１０元,当售价每个 为１２元时,销售量为１８０个,若售价每提高１元,销售量就 ０５ 会减少１０个,请回答以下问题: (１)