1.4 二次函数与一元二次方程的联系-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

１．４　二次函数与一元二次方程的联系 知识点一　二次函数与一元二次方程的联系 二次函数与一元二次方程之间的转化 y＝ax２＋ bx＋c 已知函数值y＝k,求自变量的 值,可看作解一元二次方程 解一元二次方程可看作已知 函数值为k,求自变量的值 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 ax２＋bx＋ c＝k 抛物线与x 轴的位置关系与一元二次方程根的情况 判别 式Δ＝ b２－４ac 二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０) 一元二次方程 ax２＋bx＋c＝ ０(a≠０) 图象 与x 轴的交 点坐标 根的情况 Δ＞０ a＞０ a＜０ 二 次 函 数 y ＝ ax２ ＋bx ＋c (a≠０)的图象与 x轴交于(x１,０), (x２,０)(x１＜x２) 两 点,且 x１,２ ＝ －b± b２－４ac ２a , 此时函数图象与 x 轴有两个不同 的交点 一元二次方程 ax２＋bx＋c＝ ０(a≠０)有两 个不相等的实 数 根 x１,２ ＝ －b± b２－４ac ２a Δ＝０ a＞０ a＜０ 二次函数y＝ax２＋ bx＋c(a≠０)的图 象与 x 轴 交 于 点 ( －b２a,０) ,此 时函数图象与x 轴有两个重合的 交点,一般看作 一个交点 一元二次方程 ax２＋bx＋c＝ ０(a≠０)有两 个相等的实数 根x１ ＝x２ ＝ － b ２a (１)如果二次函数y＝ax２＋ bx＋c(a≠０)的图象与x 轴 有 交 点,交 点 的 横 坐 标 是 x０,那么当x＝x０时,函数值 是０．因此,x＝x０是一元二次 方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０) 的一个根． (２)一 元 二 次 方 程 ax２ ＋ bx＋c＝０(a≠０)的根的情况 和二次函数y＝ax２＋bx＋c (a≠０)的图象与x 轴的位置 关系密切相关,其中判别式 Δ＝b２ －４ac 起 着 重 要 的 作用． (３)抛物线与x 轴的交点个 数的情况共分为三种,一般 描述为两个交点,一个交点 和没有交点． ５３ 若抛物线y＝ax２＋bx＋c 与x 轴 的 交 点 为 A(x１, ０),B(x２,０),则抛物线的 对 称 轴 方 程 为 x＝ x１＋x２ ２ ,对称轴与x 轴的 交 点 恰 为 线 段 AB 的 中点． 解 一 元 二 次 方 程 ax２ ＋ bx＋c＝０ 的 实 质 就 是 求 当 二 次 函 数 y ＝ax２＋ bx＋c的函数值为０时的 自变量x 的取值,反映在 图象上就是求二次函数的 图 象 与 x 轴 交 点 的 横 坐标．   > M 续表 判别 式Δ＝ b２－４ac 二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０) 一元二次方程 ax２＋bx＋c＝ ０(a≠０) 图象 与x 轴的交 点坐标 根的情况 Δ＜０ a＞０ a＜０ 二 次 函 数 y ＝ ax２ ＋bx ＋c (a≠０)的 图 象 与x轴没有交点 一元二次方程 ax２＋bx＋c＝ ０(a≠０)在实 数范围内没有 解(或称没有 实数根) 【例１】画出二次函数y＝x２－３x－４的图象,根据图象 回答下列问题: (１)图象与x 轴的交点坐标是什么? (２)当x 取何值时y＝０? 这里x 的取值与方程x２－ ３x－４＝０有何关系? (３)你能从中得到什么启示? 图１．４Ｇ１ 解:二次函数y＝x２－３x－４的图象如 图１．４Ｇ１． (１)图象与x 轴的交点坐标是(－１,０), (４,０)． (２)当x＝－１或x＝４时,y＝０,这里 x的取值是方程x２－３x－４＝０的两 个根． (３)二次函数y＝x２－３x－４的图象与x 轴的交点的 横坐标是一元二次方程x２－３x－４＝０的两个根;一元 二次方程x２－３x－４＝０的两个根就是二次函数y＝ x２－３x－４的图象与x 轴的交点的横坐标． ６３ 知识点二　利用图象求一元二次方程的根的近似值　 　　　　　　示例　　　　　　　　　　　解题模板 【例２】利用图象法求一元二次方程 －x２＋２x＋５＝０的根的近似值(精 确到０．１)． 解:在平面直角坐标系 内 作 出 二 次 函 数 y＝－x２＋２x＋５的图 象,如图１．４Ｇ２所示． 图１．４Ｇ２ ← 步骤１:画出 二 次 函 数 y＝ax２＋bx＋ c(a≠０)的图 象 已知方程－x２＋２x＋５＝０的根是抛物 线y＝－x２＋２x＋５与x轴的交点的横 坐标,由图象可知,左边的交点的横坐标 在－２与－１之间,右边的交点的横坐标 在３与４之间． ← 步 骤 ２:确 定函数图象 与 x 轴 的 位 置 关 系, 看交点的横 坐标在哪两 个数之间 (１)先求在－２和－１之间的根,利用 计算器进行探索: x －１．１ －１．２ －１．３ －１．４ －１．５ y １．５９ １．１６ ０．７１ ０．２４ －０．２５ (２)