1.2 二次函数的图象与性质-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

１．２　二次函数的图象与性质 　 知识点一　二次函数y＝ax２(a≠０) 　　的图象与性质 二次函数y＝ax２(a≠０)的图象的画法 画图 步骤 → 列表 → 描点 → 连线 　　　　　　⋮　　　　　　　⋮　　　　　　⋮ 　 ↓ 　 给 自 变 量 x 取一 些 代 表 性的值(互为 相反 数 的 数 和０),求出相 应的 函 数 值 y,列出表格 　 在平面直角坐 标系内,以自变 量x 取的值为 横坐标,相应的 函数值y 为纵 坐标,描出相应 的点 　 用 一 条 光 滑 曲 线 顺 次 连 接 各 点,就得到 函 数 的 图 象 典例 示范 　 　【例１】在同一平面直角坐标系中作出 y＝ １ ４x ２ 和y＝－ １ ４x ２的图象． 解:列表如下: x 􀆺 －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ 􀆺 y＝ １ ４x ２ 􀆺 ２．２５ １ ０．２５ ０ ０．２５ １ ２．２５ 􀆺 y＝－ １ ４x ２ 􀆺 －２．２５ －１ －０．２５ ０ －０．２５ －１ －２．２５ 􀆺 描点:如图１．２Ｇ１所示,以表中各组对应值为点的坐 标,在平面直角坐标系内描出相应的点． 连线:用光滑的曲线顺次连接各点． (１)这里的“顺次”是指按自 变量 从 小 到 大 (或 从 大 到 小)的顺序,换句话说,就是 从左到右(或从右到左)的 顺序． (２)描点法所画的图象只是 函数 图 象 的 一 部 分,是 近 似的． (３)在画图象时,一般说来, 选的点越多,图象越准确, 但取点过多计算量会很大, 故一般以y 轴为对称轴,左 右对称各取三四个点即可． (４)由于二次函数y＝ax２ 的图象关于y 轴对称,所以 画二 次 函 数y＝ax２ 的 图 象时,可 以 先 按 “列 表、描 点、连线”三个步骤画出图 象在y 轴右边的部分,再利 用对称性,画出图象在y 轴 左边的部分． ９   > M (１)在讨论二次函数y＝ ax２ 的函数值随自变量取 值的变化情况时,一定要 说明是在y 轴的左侧或右 侧．不 能 笼 统 地 表 述 为 当 a＞０时,y 随x 的增大而 减小． (２)二 次 函 数y＝ax２ 的 图象与y＝－ax２ 的图象 开口方向相反,形状相同, 在同一直角坐标系中关于 x 轴成轴对称． 图１．２Ｇ１ 二次函数y＝ax２(a≠０)的图象 (１)二次函数y＝ax２ 的图象是一条抛物线,其对称轴 是y 轴,顶点(即抛物线与对称轴的交点)在原点,开 口方向由a 的符号决定:当a＞０时,开口向上,顶点是 抛物线的最低点;当a＜０时,开口向下,顶点是抛物 线的最高点． (２)抛物线是向两方无限延伸的． 二次函数y＝ax２(a≠０)的性质 函数 y＝ax２ 图象 a＞０ a＜０ 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (０,０) 对称轴 y 轴 函数值随 自变量取 值的变化 情况　　 在对称轴的左边,y 随x 的增大而减小; 在对称轴的右边,y 随x 的增大而增大． 可简 称 为 “左 降、右 升” 在对称轴的左边,y 随 x 的增大而增大;在对 称轴的右边,y 随x 的 增大而减小．可简称为 “左升、右降” 最大(小)值 当x＝０ 时,二次函 数有最小值０ 当x＝０时,二次函数 有最大值０ ０１ 【例２】已知函数y＝－ １ ３x ２,不画图象,按要求填空: (１)开口方向:　　　　; (２)对称轴:　　　　; (３)顶点坐标:　　　　; (４)当x≥０时,y 随x 的增大而　　　　; (５)当x　　　　时,y 的最　　　　值是　　　　． 解析:因为函数y＝－ １ ３x ２ 是y 关于x 的二次函数,所 以其图象是一条抛物线．又因为a＝－ １ ３＜０ ,所以抛 物线开口方向向下;对称轴是y 轴;顶点坐标是(０, ０);当x≥０时,y 随x 的增大而减小;当x＝０时,y 值最大,最大值是０． 答案:(１)向下　(２)y 轴　(３)(０,０)　(４)减小 (５)＝０　大　０ 　知识点二　二次函数y＝a(x－h)２ 的图象与性质 二次函数y＝a(x－h)２ 图象的平移规律 当h＞０时:抛物线y＝ax２ 沿x 轴向右平移h个单位 →抛 物线y＝a(x－h)２ 当h＜０时:抛物线y＝ax２ 沿x 轴向左平移|h|个单位 →抛 物线y＝a(x－h)２ 二次函数y＝a(x－h)２ 的图象与性质 函数 y＝a(x－h)２ 图象 a＞０ a＜０ h＞０ h＜０ h＞０ h＜０ 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h,０) 对称轴 x＝h |a|的大小决定抛物线y＝ ax２ 的开口大小．|a|越大, 抛物线开口越小． (１)二次函数y＝a(x－h)２ 的图象是由二 次 函 数y＝ ax２ 的 图 象 左 右 平 移 得 到 的,具体平移方式可通过图 象的顶点的平移方式