3.6 位似-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

第３章　图形的相似 １４３　 ３．６　位　似 知识点一　位似图形的定义 【例１】如图３．６Ｇ１所示,存在位似图形的是　　　　． ①　　　　　②　　　　　③ 　④　　　　　⑤ 图３．６Ｇ１ 解析 位似图形是具有特殊位置关系的相似图形．因 此,判断两个图形是否为位似图形,首先要看这两个 图形是否相似,然后看对应点的连线是否都经过同一 点,这两个方面缺一不可．图①②④中都存在位似图 形,图③⑤中虽然存在相似图形,但它们的对应点连 线不交于一点,所以不是位似图形． 答案 ①②④ 位似 图 形 的 定 义 包 含 四 层含义: (１)位似图形是针对两个 图形而言的; (２)位 似 图 形 是 相 似 图形; (３)位似图形的每组对应 点的 连 线 都 必 须 经 过 同 一点; (４)任意一对对应点到位 似中 心 的 距 离 之 比 等 于 位似比的绝对值． 位似与平移、旋转、轴对称一 样,都是 图 形 的 变 换 方 式．位 似可以改变图形的位置和大 小,其他变换只能改变图形的 位置,大小不变,即位似是图 形的相似变换,而其他变换是 图形的全等变换． 数学　九年级　上册 １４４　 位似图形与相似图形 位似图形有位似中心, 而相 似 图 形 不 一 定 有 位似中心,故位似图形 一定是相似图形,但相 似图 形 不 一 定 是 位 似 图形． U,U ,U U 知识点二　位似图形的性质 位似图形的性质 两个图形位似,则这两个图形不 仅相似,而且对应点的连线相交 于一点,对应边互相平行(或在同 一直线上) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)位似图形对应点的连线(或延长线)一定交 于一点,这一点就是位似中心; (２)位似图形的位似中心只有一个,可以是平面内任 意一点; (３)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之 比都等于相似比,即位似比的绝对值等于相似比． 【例２】如图３．６Ｇ２,△ABC 和△A′B′C′是位似图形,点 O 为位似中心,若AA′∶A′O＝２∶３,且S△ABC＝５０, 则图中阴影部分的面积是　　　　． 图３．６Ｇ２ 解析 因为△ABC 和△A′B′C′是位似图形,且点O 为 位似中心,AA′∶A′O＝２∶３, 所以△ABC∽△A′B′C′,且相似比为 AO A′O＝ ５ ３． 所以 S△ABC S△A′B′C′＝ ( AO A′O ) ２ ＝ ２５ ９． 因为S△ABC＝５０, 所以S△A′B′C′＝ ９ ２５S△ABC＝１８． 所以S阴影 ＝S△ABC－S△A′B′C′＝３２． 答案３２ 第３章　图形的相似 １４５　 位似图形具有相似图形的一切性质 位似图形是一种特殊的相似图形,它具有相似图 形的一切性质,故可利用相似三角形的性质求位似三 角形的线段长、角的度数、图形周长与面积等． 知识点三　位似图形的画法 画位似图形的一般步骤 (１)定点:确定位似中心,并找出原图形的关键点． (２)连线:分别连接原图形各关键点与位似中心． (３)截长:根据位似比,在位似中心与各关键点所连线 段(或延长线)上取点,即确定新图形关键点． (４)构图:顺次连接新图形关键点,得到位似图形． 图３．６Ｇ３ 【例３】如图３．６Ｇ３,已知四边形ABCD, 要求画出它的位似图形,且使位似比 为k． 解 画位似图形的方法不唯一,举例 如下: 方法１(位似中心在多边形外,且位似图形与原图形 位于位似中心的同侧): (１)在图形外任取一点O; (２)以点O 为端点作射线OA,OB,OC,OD; (３)分 别 在 射 线 OA,OB,OC,OD 上 取 点 A′,B′,C′,D′,使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝ OD′∶OD＝k,连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,得四边形 A′B′C′D′,则四边形A′B′C′D′即为所求作的四边形, 如图３．６Ｇ４①所示． 方法２(位似中心在多边形外,且位似图形与原图形 位于位似中心的两侧):四边形A′B′C′D′是在射线 OA,OB,OC,OD 的反向延长线上取点作出的,如图 ３．６Ｇ４②所示． 两大因素决定位似图形 (１)位 似 中 心:位 似 中 心 的选取不同,则所画位似 图形的位置不同．两个位 似图 形 可 能 位 于 位 似 中 心的两侧,也可能位于位 似中心的同侧． (２)位 似 比:位 似 比 的 绝 对值不同,则所画位