3.2 平行线分线段成比例-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

第３章　图形的相似 ９７　 ３．２　平行线分线段成比例 知识点一　平行线等分线段 文字语言 数学语言 图形 两条直线被一组平 行线所截,如果在 其中一条直线上截 得的线段相等,那 么在另一条直线上 截得的线段也相等 若a∥b∥c,AB＝ BC,则 A１B１ ＝ B１C１ 【例１】如图３．２Ｇ２,直线l过梯形ABCD 一腰AB 的中 点E,且平行于BC,与BD,AC,CD 分别交于点F, G,H,以下结论错误的是 (　　) 图３．２Ｇ２ A．BF＝FD　　　　　 B．CG＝AG C．CH＝DH D．FG＝AD 解析 在梯形ABCD 中,AD∥BC． 因为l∥BC, 所以AD∥EH∥BC． 又因为AE＝BE, 所以由 平 行 线 等 分 线 段,得 BF＝FD,CG＝AG, CH＝DH,故选 D． 答案 D “平行线等分线段”的 逆命题是假命题 两条 直 线 被 一 组 直 线 所 截,且在两条直线上截得 的线段相等,此时这一组 直线不一定是平行线． 如图 ３．２Ｇ１,在 任 意 四 边 形ACFD 中,点B 是AC 的中点,点E 是DF 的中 点,此 时 直 线 AD,BE, CF 互不平行． 图３．２Ｇ１ 应用平行线等分线段的 两点注意 (１)必 须 有“一 组 平 行 线”存 在,每相邻的两条平行线之间 的距离都相等,且平行线至少 有三条． (２)被截的两条直线的位置关 系没有限制,被截得的相等的 线段在同一条直线上． 数学　九年级　上册 ９８　 平行线分线段成比例 的对应关系 (１) 左上 左下 ＝ 右上 右下 ,左下 左上 ＝ 右下 右上 , 左上 左全 ＝ 右上 右全 , 左下 左全＝ 右下 右全 (等号的左、右 两边各在一条直线上); (２) 左上 右上 ＝ 左下 右下 ＝ 左全 右全 (等 号 的 左、右 两 边 各 在 两条直线上)． 平行于三角形一边的直线可 以与三角形的两边相交,也可 以与三角形的两边的延长线 相交,截得的三角形都与原三 角形的对应边成比例． 知识点二　平行线分线段成比例 基本事实 文字语言 两条直线被一组平行线所截,所得的 对应线段成比例 数学语言 若l１∥l２∥l３,则有 AB BC＝ DE EF ,BC AB＝ EF DE , AB AC＝ DE DF ,BC AC＝ EF DF 推论 文字语言 平行于三角形一边的直线截其他两 边,所得的对应线段成比例 数学语言 在△ABC 中,DE∥BC, DE 分别交AB,AC 于点 D,E,则有 AD DB＝ AE EC ,BD AD＝ CE AE , AD AB＝ AE AC ,BD AB＝ CE AC 两种图形 “A”字型 若DE∥BC,则有 AD DB＝ AE EC ,AD AB＝ AE AC “X”字型 若DE∥BC,则有 AD AB＝ AE AC ,AD DB＝ AE EC 图３．２Ｇ３ 【例２】如图３．２Ｇ３,直线l１,l２,l３ 分 别交直线l４ 于点A,B,C,交直线 l５ 于点D,E,F,且l１∥l２∥l３,已 知 DE EF＝ ５ ８ ,AC＝２４,求AB 的长． 解 因为 DE EF＝ ５ ８ , 所以 DE DF＝ ５ １３． 因为l１∥l２∥l３, 第３章　图形的相似 ９９　 所以 DE DF＝ AB AC , 所以 ５ １３＝ AB ２４ , 所以AB＝ １２０ １３． 常考题型解读 题型一　利用平行线分线段成比例求值 【例１】如图３．２Ｇ４,已知直线a∥b∥c,直线m,n 与直 线a,b,c 分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC＝４, CE＝６,BD＝３,则BF＝ (　　) 图３．２Ｇ４ A．７　　　B．７．５　　　C．８　　　D．８．５ 思路分析 解答本题时,一要看清平行线组,二要找准平 行线组截得的对应线段,然后根据平行线分线段成比 例,构造方程求解． 解析 因为a∥b∥c,所以 AC CE＝ BD DF． 因为AC＝４,CE＝６,BD＝３, 所以 ４ ６＝ ３ DF ,解得DF＝４．５, 所以BF＝BD＋DF＝３＋４．５＝７．５． 答案 B 4 　　正确找出对应线段并表示出对应线段的比是运用 “平行线分线段成比例”这一基本事实的前提． I@3 １．(浙江杭州中考)如图３．２Ｇ５． 已知直线a∥b∥c,直线 m 交直线a,b,c 于点A,B, C,直线n 交直线a,b,c 于 点D,E,F,若 AB BC ＝ １ ２ ,则 DE EF＝ (　　) 图３．２Ｇ５ A． １ ３　　　B． １ ２ C． ２ ３ D．１ 数学　九年级　上册 １００　 I@3 ２．如图３．２Ｇ７,在▱ABCD 中, P,Q 是AD 边上的三等分 点,R,S 是BC 边上的三等 分点,K,L,M 分别是PB, QR,DS 与对