2.2 一元二次方程的解法-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

第２章　一元二次方程 ４５　 0  0 ２．２　一元二次方程的解法 知识点一　配方法 １．一元二次方程的根 ２．用直接开平方法解一元二次方程 语言描述 利用平方根的意义直接开平方解一元二次方程的 方法 理论依据 平方根的意义 基本思路 通过“降次”,将一个一元二次方程转化为两个一 元一次方程 步骤 第１步:移项,即将方程化为仅左边含有未知数的 完全平方式; 第２步:开平方,即若右边是非负数(若为负数,则 方程无实数根),则根据平方根的意义求解,注意 右边开方后必须取正负两个平方根 【例１】已知一元二次方程:９(x－２)２－２２５＝０． (１)在７,５,０,－３,－５中,哪些是已知的一元二次方 程的根; (２)用直接开平方法解已知方程． 解 (１)将给出的数分别代入方程,只有－３和７满足 方程,所以只有－３和７是方程９(x－２)２－２２５＝０ 的根． (２)移项,得９(x－２)２＝２２５． 两边同除以９,得(x－２)２＝２５． 根据平方根的意义,得x－２＝±５． 所以原方程的根为x１＝７,x２＝－３． (１)一元二次方程可能会 有两个不相等的实数根, 也可 能 会 有 两 个 相 等 的 实 数 根,也 可 能 没 有 实 数根． (２)一般用x１,x２ 来表示 一 元 二 次 方 程 ax２ ＋ bx＋c＝０(a≠０)的两个 实数根． ((A D0U -Ed

p  数学　九年级　上册 ４６　   > M “配方”的精髓 (１)一般来说,“配方”的前 提是二次项系数化为１; (２)“配方”的关键是方程 的两 边 都 加 上 一 次 项 系 数的一半的平方(或在方 程的 左 边 先 加 上 一 次 项 系数的一半的平方,再减 去这个数); (３)若配方后的方程(x± m)２＝n 中,n＜０,则原方 程无实数根． 一元二次方程惯用“两招” 　　第一招:代入法．代入法是最常用的验根方法,就 是将已知数值分别代入方程的左、右两边,若能使方 程两边相等,则该数值是方程的根,否则不是． 　　第二招:整体法．解一元二次方程时,可以考虑“整 体思想”,即先把某个含有未知数的代数式作为一个 整体求解,再求一元一次方程的解．例如,例题中方程 化为(x－２)２＝２５后,可以把x－２作为一个整体,开 平方后再求x 的值． ３．用配方法解一元二次方程 语言描述 把一个一元二次方程配方、整理后,直接根据平方 根的意义来求解 理论依据 完全平方公式(a±b)２＝a２±２ab＋b２ 基本思路 逆用完全平方公式,将原方程变形为(x±m)２＝n (n≥０)的形式,用直接开平方法求解 步骤 第１步:移,即将常数项移到方程的右边,二次项 和一次项全部移到方程的左边; 第２步:化,即若二次项系数不为１,则在方程两 边同时除以二次项系数,使方程的二次项系数化 为１; 第３步:加,即在方程的两边都加上一次项系数的 一半的平方,把原方程化为(x±m)２＝n(n≥０) 的形式; 第４步:解,即利用直接开平方法求得一元二次方 程的根 【例２】用配方法解下列方程: (１)x２－４x－３＝０;　　　(２)２x２＝７x－３． 解 (１)移项,得x２－４x＝３． 配方,得x２－４x＋(－２)２＝３＋(－２)２． 所以(x－２)２＝７． 所以x－２＝ ７或x－２＝－ ７． 所以x１＝２＋ ７,x２＝２－ ７． 第２章　一元二次方程 ４７　 0  0 　(２)将方程化为一般形式,得２x２－７x＋３＝０． 两边同除以２,得x２－ ７ ２x＋ ３ ２＝０． 配方,得x２－ ７ ２x＋ ( － ７ ４) ２ － ( － ７ ４) ２ ＋ ３ ２＝０ , 即 (x－ ７ ４) ２ － ２５ １６＝０． 所以 (x－ ７ ４) ２ ＝ ２５ １６． 所以x－ ７ ４＝ ５ ４ 或x－ ７ ４＝－ ５ ４． 所以x１＝３,x２＝ １ ２． 知识点二　公式法 １．求根公式 一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０),　　即x２＋ b ax＋ c a ＝０ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇓ 用 配 方 法 推 导 x２＋ b ax 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋＋ ( b２a) ２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋－ ( b２a) ２ ＋ c a ＝０ ,即 (x＋b２a) ２ ＝ b２－４ac ４a２ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇓当b２－４ac≥０时 x＋ b ２a＝± b２－４ac ２a ,即x＝ －b± b２－４ac ２a (b２－４ac≥０)→求根公式 ì î í ï ï ï ï ï ï ２．用公式法解一元二次方程 语言描述 运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一 元二次方程的根,是解一元二次