第5章 二次根式 考前复习笔记-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（湘教版)

数学　八年级　上册 ２２４　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 专题一　二次根式有意义的条件 　　二次根式 a有意义的条件是a≥０, 与这一知识点有关联的问题往往还要考 虑若存在分式,则分母不等于０． 【例１】若式子 m＋２ (m－１)２ 有意义,则实数m 的取值范围是 (　　) A．m＞－２　　　　　 B．m＞－２且m≠１ C．m≥－２ D．m≥－２且m≠１ 解析 由题意可知 m＋２≥０, m－１≠０,{ 所以m≥－２,且m≠１． 答案 D 第５章　二次根式 ２２５　 4 　　求字母的取值范围时,要根据具 体情况进行分析,若存在二次根式,要 保证被开方数为非负数,若存在分式, 还需保证分母不为０． 专题二　二次根式的非负性 　　二次根式 a２ 的结果是一个非负数, 即 a２ ＝|a|≥０,当a≥０时,a２ ＝a;当 a＜０时,a２ ＝－a． 【例２】如图５Ｇ１,数轴上点A 表示的数为 a,化简:a＋ a２－４a＋４＝　　　　． A a  图５Ｇ１ 解析 由数轴,得０＜a＜２, 则a＋ a２－４a＋４＝a＋ (２－a)２ ＝ a＋(２－a)＝２． 答案２ 4 　　非负数具有以下性质:(１)若干个 非负数的和仍为非负数;(２)若干个非 负数的积或商(除数不为零)仍为非负 数;(３)非负数的算术平方根仍为非负 数;(４)当若干个非负数的和为零时, 其中每个非负数都为零． 专题三　二次根式的运算 　　有关二次根式的计算要重点把握: (１)按正确的运算顺序计算;(２)正确使 用运算法则,处理好各项符号;(３)正确 运用运算律和乘法公式;(４)运算结果要 化为最简二次根式或整式． 【例 ３】 计 算:(２ ＋ ３)２ － ２４ ＝ 　　　　． 解析 原式＝２＋２６＋３－２６＝５． 答案５  　　在二次根式的混合运算中,要重 点注意运算顺序,还要结合运算律简 化运算． 专题四　二次根式的化简求值 　　解决与二次根式相关的化简求值问 题的方法是先将所给代数式化简,再将 未知数的值代入化简后的代数式中求值． 【例４】先化简,再求值:(a－ ３)(a＋ ３)－a(a－６),其中a＝ ５＋ １ ２． 解 (a－ ３)(a＋ ３)－a(a－６) ＝a２－３－a(a－６) ＝a２－３－a２＋６a ＝６a－３． 将a＝ ５＋ １ ２ 代入６a－３,得 原式＝６× ( ５＋ １ ２) －３＝６５． 4 　　在化简二次根式时,一定要注意 乘法公式和运算律的应用,从而使化 简过程简单化． 数学　八年级　上册 ２２６　 专题一　数形结合思想 　　所谓数形结合,即利用“数”和“形” 的转化来解决数学问题的方法． 实数与数轴上的点建立了一一对应 关系,于是在数与形之间就建立了联系, 二次根式的化简需要讨论字母的取值范 围,而字母的取值可以通过数轴给出,所 以在化简计算时,一定要根据数轴确定 好字母的取值范围． 【例１】数a,b 在数轴上的位置如图５Ｇ２ 所示,则 a２ － (a－b)２ ＝ (　　) 图５Ｇ２ A．２a－b　　　　B．b－２a C．b D．－b 解析 由数轴,得a＞０,b＜０,所以a－ b＞０,所以 a２ ＝a, (a－b)２ ＝a－b, 所以 a２ － (a－b)２ ＝a－(a－b)＝ a－a＋b＝b． 答案 C 4 　　首先利用数轴上“右边的数总比左 边的数大”这一规律得到a＞０,b＜０,且 a＞b,然后进行开方,最后化简求值． 专题二　分类讨论思想 　　当被研究的问题包含多种可能情 况,而又不能一概而论时,必须按可能出 现的所有情况来分别讨论,得出各种情 况下相应的结论,这种处理问题的思想 称为分类讨论思想． 【例２】化简: (a－b)２ －(a－b)． 解 当a≥b 时, (a－b)２ －(a－b)＝ |a－b|－(a－b)＝a－b－(a－b)＝０; 当a＜b 时, (a－b)２ －(a－b)＝ |a－b|－(a－b)＝b－a－a＋b＝ ２b－２a． 综上 可 得, (a－b)２ － (a －b)＝ ０(a≥b), ２b－２a(a＜b)．{ 4 　　本题利用分类讨论的思想,将绝 对值里的数分为非负数和负数进行讨 论,再 依 据|a|＝ a(a≥０), －a(a＜０){ 进 行 计算．