8.2 平行投影-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（青岛版)

８．２　平行投影 知识点一　平行投影 平行投影的定义 投射线互相平行的投影叫做平行投影． 平行投影的特征 若箭头的方向表示平行投影投射线的方向,H 是投 影面,则点、线和平面图形(以矩形ABCD 为例)在投 影面内的平行投影形状如下表所示: 图形 特征 图示 点 平行投影下,点A 的投影仍是 一个点 线 段 线段 平行 于投 影面 当线段AB 平行于投影面时, 点A,B 在投影面内的投影是 点A′,B′,线 段 AB 的 投 影 A′B′是一条线段,此时四边形 AA′B′B 是平行四边形,因此 A′B′􀱀AB 线段 倾斜 于投 影面 当线段AB 倾斜于投影面时, 线段AB 的投影A′B′仍是一 条线段,此时线段A′B′与AB 不平行,线段 A′B′可能小于 线段AB,可能大于线段AB, 也可能等于线段AB 'F (１)由于太阳距离我们非常 遥远,太阳光线可以看成是 互相平行的,故太阳光线形 成的投影是平行投影． (２)同 一 地 点,等 高 的 物 体 垂直 于 地 面 放 置 时,如 图 ８．２Ｇ１①所示,在太阳光下, 它们的影子一样长;等长的 物体平行于地面放置时,如 图８．２Ｇ１② 所 示,它 们 在 阳 光下的影子一样长,都等于 物体本身的长度;不等高的 物体垂直于地面放置时,如 图８．２Ｇ１③所示,它们在太阳 光下的影长与物高成比例, 即 AB BC＝ DE EF． ①　 　　　　② ③ 图８．２Ｇ１ ３１２  在不 同 时 刻,同 一 物 体 影 子的方向和大小都是不同 的,就我国北方地区而言, 从早晨到傍晚物体影子的 指向 是 西 → 西 北 → 北 → 东北→ 东,影 子 长 度 的 变 化为 长→短→长(正午１２ 时左右影子最短)． 'F 辨别中心投影和平行 投影的方法 (１)看图中的两个影子:若 在同 侧,则 是 平 行 投 影 或 中心投影;若在异侧,则一 定是中心投影． (２)作图:过不同物体的顶 端及 其 影 子 的 顶 端 作 直 线,若 平 行,则 为 平 行 投 影;若相交,则为中心投影． 续表 图形 特征 图示 线 段 线段 端点 在同 一条 投射 线上 当线段 AB 的端点在同一条 投射线上时,点 A,B 的投影 A′,B′重合,此时线段 AB 的 投影是一个点 平 面 图 形 平面 图形 与投 影面 平行 当矩形纸片与投影面平行时, 矩形纸片的影子仍是矩形,而 且与原矩形全等 平面 图形 与阳 光光 线平 行 当矩形纸片与阳光光线平行 时,纸片的影子是一条线段 平行投影与中心投影的区别与联系 平行投影 中心投影 区别 投射线 平行的 从一点发出的 物体与投影面 平行时的投影 全等 放大(位似变换) 联系 都是物体在光线的照射下,在某个 平面内形成的影子,即都是投影 图８．２Ｇ２ 【例１】某一时刻甲木杆在阳光下的影 子如图８．２Ｇ２所示,你能画出乙木杆 的影子吗(用线段表示)? 解:设甲木杆的顶端为A,底端为B,影 子的顶端为C,乙木杆的顶端为 D,底端为 E,如图 ８．２Ｇ３所示,连接AC,过点D 作DF∥AC,与地面交于 ４１２ 点F,则线段EF 即为乙木杆的影子． 图８．２Ｇ３ 4 　　对于平行投影来说,由于投射线是互相平行的, 故确定了一条光线的方向,也就确定了其他光线的方 向,所以借助平行线可确定影子的位置． 知识点二　正投影 正投影的定义 投射线与投影面垂直时的平行投影,叫做正投影． 正投影的特征 类型 图示 特点 规律 线 段 的 正 投 影 线段AB 平 行 于 投影面 线段 AB 的正投 影是线段A′B′, 此时A′B′＝AB 线段AB 倾 斜 于 投影面 线段 AB 的正投 影是线段A′B′, 此时A′B′＜AB 线段AB 垂 直 于 投影面 线段AB 的正投影 是一个点A′(B′) 平行 长 不 变, 倾斜 长 缩 短, 垂直 成 一点 'F (１)一个立体图形在一个平 面上的正投影是一个平面 图形．同 时,立 体 图 形 的 正 投影可转化为点、线段及平 面图形的正投影． (２)物体的正投影的形状和 大小与物体相对于投影面 的位置有关． ５１２  几何体的正投影与平行于 投影面且过几何体的最大 截面全等． 续表 类型 图示 特点 规律 平 面 图 形 的 正 投 影 平面图形 平行于投 影面 平面图形的正投 影与这个平面图 形 的 形 状、大 小 完 全 相 同,正 投 影与这个平面图 形全等 平面图形 倾斜于投 影面 平面图形的正投 影 与 原 图 形 相 比,形状、大小均 发生变化 平面图形 垂直于投 影面 平面图形的正投 影是一条线段 平行形不 变,倾 斜 形 改 变, 垂 直 成 线段 立体图形的 正投影 由于立体图形的放置情况多样,