5.6 二次函数的图象与一元二次方程-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（青岛版)

５．６　二次函数的图象与一元二次方程 　 'F (１)如果二次函数y＝ax２＋ bx＋c(a≠０)的图象与x 轴有 公 共 点,且 公 共 点 的 横坐 标 是 x０,那 么 当x＝ x０时,函 数 值 是 ０．因 此, x＝x０ 是 一 元 二 次 方 程 ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的 一个根． (２)一 元 二 次 方 程ax２ ＋ bx＋c＝０(a≠０)的根的情 况和 二 次 函 数y＝ax２ ＋ bx＋c(a≠０)的图象与x 轴的 交 点 的 情 况 密 切 相 关,其 中 判 别 式 Δ＝b２ － ４ac起着重要的作用． (３)根 据 抛 物 线 的 开 口 方 向和顶点的位置也可以判 断抛物线与x 轴的交点的 个数．例如,若开口向上、顶 点在x 轴下方(或开口向 下,顶点在x 轴上方),则 抛物 线 与 x 轴 有 两 个 交 点;若开口向上、顶点在x 轴上方(或开口向下,顶点 在x 轴下方),则抛物线与 x 轴 无 交 点;若 无 论 开 口 向上 或 向 下,顶 点 都 在 x 轴上,则 抛 物 线 与x 轴 只 有一个交点． 知识点一　二次函数与一元二次方程之间的关系 二次函数与一元二次方程之间的转化 y＝ax２＋bx＋c 已知函数值y＝k,求 自变量的值,可看作 解一元二次方程 解一元二次方程可看 作已知函数值为k, 求自变量的值 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 ax２＋bx＋c＝k 抛物线与x 轴的位置关系和一元二次方程根的情况 判别式 Δ＝b２－ ４ac 二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０) 一元二次方程ax２＋ bx＋c＝０(a≠０) 图象 与x 轴的交点坐标 根的情况 Δ＞０ a＞０ a＜０ 二次 函 数 y＝ax２ ＋ bx＋c(a ≠０)的 图 象与x 轴 交 于 (x１, ０),(x２,０)(x１ ＜ x２)两 点 ,且 x１,２＝ －b± b２－４ac ２a , 此 时函数图象与x 轴有 两个交点 一元 二次方程ax２ ＋ bx＋c＝０(a≠０)有 两个不相等的实数根 x１,２＝ －b± b２－４ac ２a Δ＝０ a＞０ a＜０ 二次 函 数 y＝ax２ ＋ bx＋c(a≠０)的图象 与 x 轴 交 于 点 ( －b２a,０) ,此时函数 图象与x 轴有且只有 一个交点 一 元 二 次 方 程ax２＋ bx＋c＝０(a≠０)有两 个相等的实数根x１＝ x２＝－ b ２a ４７ 续表 判别式 Δ＝b２－ ４ac 二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０) 一元二次方程ax２＋ bx＋c＝０(a≠０) 图象 与x 轴的交点坐标 根的情况 Δ＜０ a＞０ a＜０ 二次 函 数 y＝ax２ ＋ bx＋c(a≠０)的图象 与x 轴无交点 一元二次方程ax２＋ bx＋c＝０(a≠０)在 实数范围内无解(或 称无实数根) 【例１】画出二次函数y＝x２－３x－４的图象,根据图象 回答下列问题: (１)图象与x 轴的交点坐标是什么? (２)当x 取何值时y＝０? 这里x 的取值与方程x２－ ３x－４＝０有何关系? 图５．６Ｇ１ (３)你能从中得到什么启示? 解:二次函数y＝x２－３x－４的图 象如图５．６Ｇ１． (１)图象与x 轴的交点坐标是 (－１,０),(４,０)． (２)当x＝－１或x＝４时,y＝ ０,这里x 的取值是方程x２ － ３x－４＝０的两个根． (３)二次函数y＝x２－３x－４的 图象与x 轴的交点的横坐标是一元二次方程x２－ ３x－４＝０的两个根,一元二次方程x２－３x－４＝０的 两个根就是二次函数y＝x２－３x－４的图象与x 轴 的交点的横坐标． 知识点二　利用二次函数的图象求一元 二次方程的近似解 　　　　　　　示例　　　　　　　　 解题模板 【例２】利用二次函数的图象求一 元二次方程－x２＋２x＋５＝０的 实数根(精确到０．１)． 'F 数形结合理解二次函数与 一元二次方程的关系 (１)从“数”的方面看,当二 次函 数 y＝ax２ ＋bx＋c (a≠０)的函数值y＝０时, 相应自变量的值即为方程 ax２＋bx＋c＝０(a≠０) 的解． (２)从“形”的方面看,函数 y＝ax２＋bx＋c(a≠０)的 图象与x 轴的交点的横坐 标即为方程ax２＋bx＋c＝ ０(a≠０)的解． ５７  在难以读出交点坐标时, 我们可以通过不断缩小根 所在范围估计一元二次方 程的 根．对 于 y＝ax２ ＋ bx＋c(a≠０),如果ax２１＋ bx１ ＋c ＞０,且 ax２２ ＋ bx２＋c＜０,那 么 在x１ 与 x２ 之 间 存 在 一 个 根．取 x３＝ x１＋x２ ２ ,若 ax２３ ＋ bx３＋c＜０,则 取 x４ ＝ x１＋x３ ２ ． 这 样 不 停 地 取 下 去