3.5 三角形的内切圆-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

数学　九年级　上册 １４８　 ３．５　三角形的内切圆 M > M (１)“内切”“外切”只 不过 是“参 照 物”不 同 而 已,“内”是相对于三角形 说 的,“外”是 相 对 于 圆 说的． (２)三角形各顶点都 在圆上是“接”,三角形的 边都与圆相切是“切”． (３)任意一个圆都有 无数个外切三角形,任意 一个 三 角 形 都 只 有 一 个 内切圆． 知识点一　三角形的内切圆 图３．５Ｇ１ １．三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做 三角形的内切圆,内切圆的圆 心叫做三角形的内心,这个三 角形叫做圆的外切三角形．如 图３．５Ｇ１,☉I 与 △ABC 的各 边都相切,☉I是△ABC 的内切圆,△ABC 是☉I 的 外切三角形,点I是△ABC 的内心． ２．内心的性质 三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点,它到 三角形各边的距离相等． 任何一个三角形都有且只有一个内心,三角形的内心 在三角形的内部．如图３．５Ｇ１,点I 是△ABC 的内心, AI,BI,CI分别是△ABC 各内角的平分线,点I 到 各边 的 距 离IM,ID,IN 都 相 等,即 ① ∠MAI＝ ∠NAI,∠MBI＝∠DBI,∠DCI＝∠NCI;②IM ＝ ID＝IN． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意: 内心与外心的区别 名称 确定方法 图形 位置 性质 外心 (三角 形外 接圆 的圆 心) 三角形三 边的垂直 平分线的 交点 锐角三角 形 在 内 部,直 角 三角形是 斜边的中 点,钝 角 三角形在 外部 (１)OA＝OB＝ OC;　 (２)外心不一定 在 三 角 形 的 内部 内心 (三角 形内 切圆 的圆 心) 三角形三 条角平分 线的交点 在三角形 的内部 (１)到三边的距 离相等; (２)OA,OB,OC 分 别 平 分 ∠BAC,∠ABC, ∠ACB; (３)内心一定在 三角形的内部 第３章　对圆的进一步认识 １４９　 ３．三角形内切圆的作法 图３．５Ｇ２ 已知:△ABC(如图３．５Ｇ２)． 求作:一 个 圆,使 它 与 △ABC 三 边 都 相切． 图３．５Ｇ３ 作法:(１)作△ABC 中∠B,∠C 的平分 线BE,CF,设它们交于点I; (２)过点I作ID⊥BC,交BC 于点D; (３)以I为圆心,ID 为半径作☉I,则☉I 为所求作的圆．如图３．５Ｇ３所示． 图３．５Ｇ４ 【例 １】 如 图 ３．５Ｇ４,☉O 内 切 于 △ABC,切点分别为点D,E,F．已知 ∠B＝５０°,∠C＝６０°,连接DE,DF, 那么∠EDF 等于 (　　) A．４０°　　　　　　　　　　B．５５° C．６５° D．７０° 解析 连接OE,OF(图略)． 因为☉O 内切于△ABC, 所以OE⊥AB,OF⊥AC,所以∠AEO＝∠AFO＝９０°． 因为∠B＝５０°,∠C＝６０°,所以∠A＝１８０°－∠B－ ∠C＝７０°． 所以∠EOF＝３６０°－∠AEO－∠AFO－∠A＝１１０°． 所以∠EDF＝ １ ２∠EOF＝５５°． 答案 B 知识点二　三角形内切圆的半径 　求三角形内切圆半径的常用方法 (１)三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个 三角形的面积,即S△ABC ＝ １ ２r (a＋b＋c),其中r 为 内切圆的半径,a,b,c分别为△ABC 的三边的长,故 r＝ ２S△ABC a＋b＋c． (２)直角三角形的直角顶点到直角边上的切点的距离 等于内切圆的半径． 当三角形的内心已知时, 可以连接内心与各边上的切 点,从而得到直角,以便求解 未知的角．   > M 数学　九年级　上册 １５０　 如图３．５Ｇ６,连接OA,OB, OC,则S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋ S△AOC＝ １ ２cr＋ １ ２ar＋ １ ２br＝ １ ２r (a＋b＋c)． 图３．５Ｇ６ 【例２】在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AC＝６,BC＝８,则 △ABC 的内切圆半径r＝　　　　． 图３．５Ｇ５ 解析 如图３．５Ｇ５,☉O 为 Rt△ABC 的内 切圆,切点分别为D,E,F,连接OA,OB, OC,OD,OE,OF,则OD＝OE＝OF＝r． 在 Rt△ABC 中, AB＝