1.4 图形的位似-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

第１章　图形的相似 ２９　 M  > M M  > M １．４　图形的位似 知识点一　位似图形的定义 如图１．４Ｇ１,这四组相似图形中,每组图形的对应边 互相平行(或共线)且每对对应点所在的直线都经过 同一点 O,它们都是位似图形,这个点 O 是位似 中心． 　　　　 　　　　 图１．４Ｇ１ 【例１】在图１．４Ｇ２中,哪些是位似图形? 如果是位似图 形,请找出各自的位似中心． ① 　 ② 　 ③ 图１．４Ｇ２ 解 ①③中的图形是位似图形,它们的位似中心分别 为点O,点O１,如图１．４Ｇ３所示． O 　　 O1 图１．４Ｇ３ 把握两点识别位似图形 　　(１)对应点所在的直线都经过同一点． (２)对应边互相平行(或共线)． (１)位似图形必须同 时满足三个条件:①两个 图形是相似图形;②对应 边 互 相 平 行 (或 共 线); ③每 对 对 应 点 所 在 的 直 线都经过同一点． (２)位似中心可以在 两 图 形 内 部、两 图 形 之 间,也可以在两图形外的 同一侧,还可能在某一个 图形上． U,U ,U U 位似图形是具 有 特 殊 位 置关系的相似图形,但相似图 形不一定是位似图形． 数学　九年级　上册 ３０　 (１)可利用位似图形的性 质对图形进行放大(或缩小), 使得放大(或缩小)前后的两 个图形是位似图形． (２)由于位似图形是特殊 的相似图形,具有相似图形的 一切性质,故可利用相似图形 的性质来解决位似问题． (３)位似是一种图形的相 似变换,可以改变图形的位置 和大小,其他变换如平移、旋 转、轴对称只能改变图形的位 置,不改变图形的大小,是图 形的全等变换．   > M 知识点二　位似图形的性质 　根据位似图形的定义,可得到位似图形的性质: (１)位似图形是相似图形; (２)位似图形的对应点的连线相交于一点; (３)位似图形的对应边互相平行(或共线); (４)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之 比等于相似比． 图１．４Ｇ４ 【例２】如图１．４Ｇ４,△ABC 与△A′B′C′ 关于点O 位似,OB＝３,OB′＝６． (１)若AC＝５,求A′C′的长; (２)若 △ABC 的 面 积 为 ７,求 △A′B′C′的面积． 解 (１)因为△ABC 与△A′B′C′是 位似图形,OB∶OB′＝３∶６＝１∶２, 所以△ABC∽△A′B′C′,且对应边的比为 １ ２． 故 AC A′C′＝ １ ２ ,即 ５ A′C′＝ １ ２ ,所以A′C′＝１０． (２)根据题意,得 S△ABC S△A′B′C′＝ ( AC A′C′) ２ ＝ １ ４ ,即 ７ S△A′B′C′＝ １ ４ , 所以S△A′B′C′＝７×４＝２８． 位似同相似,对应来求值 　　利用对应边的比求线段的长度与利用相似三角 形的对应边成比例求线段的长度一样,要注意找准对 应关系． 知识点三　画位似图形的步骤 画位似图形的一般步骤 第１步,确定位似中心; 第２步,分别连接位似中心和代表原图形的关键点并 延长; 第１章　图形的相似 ３１　 第３步,根据相似比,确定所作图形的关键点; 第４步,顺次连接各对应点,得到放大或缩小后的图形． 图１．４Ｇ５ 【例３】如图１．４Ｇ５,四边形ABCD 的一个位 似图形是四边形A′B′C′D′,且点A,B, C,D 的对应点分别是点A′,B′,C′,D′, 图１．４Ｇ５中给出了AB 的对应边A′B′所 在的位置,请画出四边形A′B′C′D′的剩 余部分． 图１．４Ｇ６ 解 (１)连接AA′,BB′,且AA′,BB′ 相交于点O,则点O 为位似中心; (２)作射线CO,DO; (３)分别过点A′,B′作A′D′∥AD 交射线DO 于点D′,B′C′∥BC 交 射线CO 于点C′; (４)连接C′D′,则四边形A′B′C′D′即为所要求作的 图形(如图１．４Ｇ６)． 知识点四　图形的位似与坐标 １．平面直角坐标系中的位似 如果多边形有一个顶点在坐标原点,有一条边在x 轴 上,那么将这个多边形的顶点坐标分别扩大(或缩小) 相同的倍数,所得到的图形与原图形是位似图形,坐 标原点是它们的位似中心． 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似 中心,变换后与变换前图形的对应边的比为k,那么 位似图形对应点的坐标之比等于k 或－k,即若原图 形的某一顶点坐标为(x０,y０),则其位似图形对应点 的坐标为(kx０,ky０)或(－kx０,－ky０)．  
２．几种图形变换的坐标变化规律比较 在平面直角坐标系中,把一个图形进行平移、轴对称、 旋转或位似变换,其对应点的坐标都有各自的变化规 律,如下表: 名称 规律 平移变换 横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位长度 (１)位似中心的选取