3.5 分式的加法与减法-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

第３章　分　式 １２３　 0  0 ３．５　分式的加法与减法M > M 知识点一　同分母分式的加减法 法则 式子表示 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减 a c ± b c ＝ a±b c 【例１】计算: (１) (a－b)２ ２ab ＋ (a＋b)２ ２ab ; (２) x２ x－２－ ４ x－２ ; (３) ２ x－１＋ x－１ １－x． 解 (１) (a－b)２ ２ab ＋ (a＋b)２ ２ab ＝ (a－b)２＋(a＋b)２ ２ab ＝ a２－２ab＋b２＋a２＋２ab＋b２ ２ab ＝ a２＋b２ ab ． (２) x２ x－２－ ４ x－２＝ x２－４ x－２＝ (x＋２)(x－２) x－２ ＝x＋２． (３) ２ x－１＋ x－１ １－x ＝ ２ x－１－ x－１ x－１＝ ２－(x－１) x－１ ＝ ２－x＋１ x－１ ＝ ３－x x－１． 　　当分式的分母是类似于“a－b”和 “b－a”这 样互为相反数的式子时,只要提取其中一个式子的 负号,就可以化为同分母分式． (１)法则中的“分母不变” 就是加减运算时所取的分母 是原分式中的分母． (２)“把分子相加减”是指 把各个分式的分子的整体相 加减,即 各 个 分 子 都 应 有 括 号,当分子是单项式时,括号 可以 省 略;当 分 子 是 多 项 式 时,括号不可以省略． (３)分 式 加 减 运 算 的 结 果,必须化成最简分式或整式． 同分 母 分 式 的 加 减 可以 类 比 小 学 学 过 的 同 分母分数的加减进行． 数学　八年级　上册 １２４　 0  0   > M 分式加减做运算, 只需分子来加减． 若是分母不相同, 通分之后再运算． 加减之后不算完, 结果必须化最简． 6M @U6U @ , U )E E F M N B A C A (１)分 式 的 混 合 运 算 中, 要注意各分式中分子、分母符 号的处理．当分子或分母是单 项式且其系数带有负号时,要 把负号提到分式的前边． 知识点二　异分母分式的加减法 法则 式子表示 异分母的分式相加减,先 把它们通分,变为同分母 分式,再加减 a b ± c d＝ ad bd± bc bd＝ ad±bc bd 【例２】计算:(１) １ ２c２d＋ １ ３cd２ ; (２) ４ a＋２＋a－２ ;　(３) ２ x２－４－ ４ x２＋２x． 解 (１) １ ２c２d＋ １ ３cd２＝ ３d ６c２d２＋ ２c ６c２d２＝ ３d＋２c ６c２d２ ． (２) ４ a＋２ ＋a － ２ ＝ ４ a＋２ ＋ a－２ １ ＝ ４ a＋２ ＋ (a－２)(a＋２) a＋２ ＝ ４＋a２－４ a＋２ ＝ a２ a＋２． (３) ２ x２－４－ ４ x２＋２x＝ ２ (x＋２)(x－２)－ ４ x(x＋２) ＝ ２x－４(x－２) x(x＋２)(x－２)＝ －２x＋８ x(x＋２)(x－２)＝ －２x＋８ x３－４x ． 四步搞定异分母分式相加减 　　同分母分式相加减只需要后面的三步即可． 知识点三　分式的混合运算   > M 　　分式的混合运算,关键是弄清运算顺序, 与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一 样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号 的要先算括号里面的,计算结果要化为最简分式或整式． 第３章　分　式 １２５　 0  0 【例３】计算: (１) x x２＋x÷ x２＋x－２ x２－１ ＋ x＋１ x＋２ ; (２) b a２－b２÷ (１－ a a＋b) ． 解 (１) x x２＋x ÷ x２＋x－２ x２－１ ＋ x＋１ x＋２＝ x x(x＋１) 􀅰 (x＋１)(x－１) (x＋２)(x－１)＋ x＋１ x＋２＝ １ x＋２＋ x＋１ x＋２＝ x＋２ x＋２＝１． (２) b a２－b２ ÷ (１－ a a＋b ) ＝ b (a＋b)(a－b)÷ b a＋b＝ b (a＋b)(a－b) 􀅰a＋b b ＝ １ a－b． (２)在混合运算中,见“÷”变 “×”,既要正确地运用法则, 又要灵活运用运算律,注重运 算 技 巧,如 可 利 用 恒 等 式 a±b ab ＝ １ b± １ a 简化运算． 常考题型解读 题型一　分式的化简求值 根据字母的值化简求值 【例１】先化简,再求值: ( ４x＋５ x２－１－ ３ x－１) ÷ x＋２ x２－２x＋１ ,其中x＝３． 思路分析 首先确定最简公分母,进行括号内分式的加 减运算,然后把除法转化成乘法,进行约分,最后把x 的值代入求值． 解 原 式 ＝ ４x＋５(x＋１)(x－１)－ ３(x＋１) (x＋１)(x－１) é ë ê ê ù û ú ú ÷ x＋２ (x－１)２ ＝ ４x