27.1.3 圆周角-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（华东师大版)

３．圆周角 知识点一　圆周角的概念与性质 圆周角的两个必备特征 　　 ① 　 ② 　　图２７．１．３Ｇ１ 图２７．１．３Ｇ１中的两个角都是圆周角． 【例１】下列四个选项中,∠α是圆周角的是 (　　) 　 A B C D 解析:根据圆周角的定义．由顶点在圆上,可排除选项 D; 由角的两边在圆内的部分都是弦,可排除选项 A、B． 故选C． 答案:C 　　判断一个角是否为圆周角时,圆周角的两个特征 都要满足,缺一不可． 圆周角的性质 半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于９０°(直角)． 图２７．１．３Ｇ２ 【例２】如图２７．１．３Ｇ２,在☉O 中,AB 是 圆的直径,且 AB＝１０cm,若 AC＝ ８cm,则BC 等于　　　cm,BC 的弦 心距等于　　　　cm． 解析:因为AB 是☉O 的直径, 所以 ∠ACB＝９０°,即 △ABC 为 直 角 三角形, 'F 对比认识圆心角和圆周角 圆心角 圆周角 图 示 顶 点 在圆心 在圆上 个 数 在同圆中, 一 条 弧 所 对 的 圆 心 角 是 唯 一 的 在 同 圆 中, 一条 弧 所 对 的圆 周 角 有 无数个 联 系 两边都与圆相交 ７９ 'F 一条直径所对的圆周角有 无数个,它们都相等,都是 直角．   > M 所以AC２＋BC２＝AB２． 因为AB＝１０cm,AC＝８cm, 图２７．１．３Ｇ３ 所以BC＝６cm． 过点 O 作OD ⊥BC,D 为 垂 足,如 图 ２７．１．３Ｇ３． 因为OD⊥BC, 所以BD＝CD, 所以OD 为△ABC 的中位线, 所以OD＝ １ ２AC＝ １ ２×８＝４ (cm)． 答案:６　４ 圆周角的性质用处大 一般地,当圆中出现直径时,往往作出直径所对 的圆周角———直角;当出现直角或需要证明垂直时, 也往往作出直径． 知识点二　圆周角定理及其推论 圆周角定理及其推论１ 圆周角 定理 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都 等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对 的弧相等 分类 圆 心 在 圆 周 角 的一条边上 圆 心 在 圆 周 角 的内部 圆心在圆周角的 外部 图示 结论 ∠APB＝ １ ２∠AOB 推论１ ９０°的圆周角所对的弦是直径 ８９ 【例３】如图２７．１．３Ｇ４,△ABC 的三个顶点都在☉O 上, AB 为 ☉O 的直径,点 D 在 ☉O 上,∠D ＝５４°,求 ∠AOC 和∠BAC 的度数． 图２７．１．３Ｇ４ 解:因为∠B 与∠D 都是AC ︵ 所对的圆周角, 所以∠B＝∠D＝５４°． 所以∠AOC＝２∠B＝２×５４°＝１０８°． 因为AB 为☉O 的直径, 所以∠ACB＝９０°． 所以∠BAC＝９０°－∠B＝９０°－５４°＝３６°． 圆内接四边形 图２７．１．３Ｇ５ (１)圆内接多边形:如果一个圆经过一 个多边形的各个顶点,这个圆就叫做 这个多边形的外接圆,这个多边形叫做 这个圆的内接多边形．如图２７．１．３Ｇ５, 四边形ABCD 是☉O 的内接四边形, ☉O 是四边形ABCD 的外接圆． (２)圆周角定理的推论２(圆内接四边形的性质):圆 内接四边形的对角互补．如图２７．１．３Ｇ５,因为四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形,所以∠A＋∠C＝１８０°, ∠B＋∠D＝１８０°． 【例４】如图２７．１．３Ｇ７,在☉O 的内接四边形ABCD 中,若 ∠A∶∠B∶∠C＝３∶５∶７,则∠D 的大小为 (　　) 图２７．１．３Ｇ７ A．４５°　　　　B．６０°　　　　C．７５°　　　　D．９０° 'F 在解决圆的有关问题时,常 常进行两种转化: (１)利用同弧或等弧所对的 圆周角相等,将一个圆周角 转化为另一个圆周角; (２)将求圆周角相等的问题 转化为求弧相等的问题．  圆内 接 四 边 形 的 一 个 角 的 外角等于这个角的内对角． 如图２７．１．３Ｇ６,因 为 四 边 形 ABCD 是 ☉O 的 内 接 四 边 形,所以∠A＋∠BCD＝１８０°． 又 因 为 ∠BCD ＋ ∠DCE ＝ １８０°,所以∠DCE＝∠A． 图２７．１．３Ｇ６ ９９ 解析:因为四边形ABCD 是☉O 的内接四边形, 所以∠A＋∠C＝１８０°,∠B＋∠D＝１８０°． 因为∠A∶∠B∶∠C＝３∶５∶７, 所以设∠A＝３a,∠B＝５a,∠C＝７a, 则３a＋７a＝１８０°,解得a＝１８°,所以∠B＝５a＝９０°, 所以∠D＝１８０°－∠B＝９０°．故选 D． 答案:D 　　与圆的内接四边形相关的题目常用到以下两个 性质: (１)圆内接四边形的对角互补; (２)四边形的内角和为３６０°． １．(吉 林 长 春 中 考)如 图 ２７．１．３Ｇ１０,AB 是☉O 的 直 径,点 C,D 在 ☉O 上,∠BDC ＝ ２０°,则