第12章 整式的乘除 章末整合提升-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)

章末整合提升 专题一　幂的运算 　　幂的运算主要包括如下四种形式： (１)am􀅰an＝am＋n(m、n为正整数); (２)(am)n＝amn(m、n为正整数); (３)(ab)n＝anbn(n为正整数); (４)am÷an＝am－n(m、n 都是正整数， 且m＞n，a≠０)． 　　特别注意幂的运算与合并同类项的 区别，幂的运算是整式乘除运算的基 础，还可以逆用． 例１(浙江衢州中考)下列计算正确的是 (　　) A．a３－a２＝a　　　B．a２􀅰a３＝a６ C．(３a)３＝９a３ D．(a２)２＝a４ 解析:A 选 项,a３、a２ 不 能 合 并,错 误; B选项,a２ 􀅰a３＝a５,错 误;C 选 项, (３a)３＝２７a３,错误;D 选项,(a２)２＝ a４,正确．故选 D． 答案:D 幂运算的两步骤、两注意 两步骤:(１)分清幂的运算类型; (２)明确幂的运算法则． 两注意:(１)幂运算结果的符号; (２)幂运算的法则可逆用． 专题二　整式的运算 　　整式的运算主要是指整式的加、 减、乘、除运算．(１)整式的乘法包括单 项式与单项式相乘、单项式与多项式相 乘、多项式与多项式相乘，其基础是幂 ２６ 的运算，其根据是乘法的交换律、结合 律、分配律．(２)整式的除法包括单项式 除以单项式、多项式除以单项式，其基 础是同底数幂的除法．(３)在进行整式混 合运算时，按照先乘方、开方，再乘 除，最后算加减的顺序计算，有括号的 先算括号里面的． 例２计算: [x(x２y２－xy)－y(x２－x３y)]÷x２y． 解:原 式 ＝ [x２y(xy－１)－x２y(１－ xy)]÷x２y ＝[x２y(２xy－２)]÷x２y ＝２xy－２． @. 整式运算的两点注意 (１)运算顺序:先算乘除,再算加减,括 号优先; (２)运算公式:要注意乘法公式的结构 特点,利用公式可简化运算． 专题三　乘法公式 　　利用整式的乘法公式可以使整式 的运算变得更加简捷．常用的公式有: (a＋b)(a－b)＝a２ －b２，(a±b)２ ＝ a２±２ab＋b２．考查的题型以解答题中的 化简、计算为主． 例３化简:(m－n)(m＋n)＋(m＋n)２－２m２． 解:(m－n)(m＋n)＋(m＋n)２－２m２ ＝m２－n２＋m２＋２mn＋n２－２m２ ＝２mn． @. 　　利用乘法公式解题的关键是掌握 乘法公式的结构特征,不能混淆． 专题四　因式分解 (１)因式分解是整式乘法的逆运算，整式 乘法是把几个整式相乘，化成一个多项 式；因式分解是把一个多项式化成几个 整式的积的形式． (２)因式分解的结果中，每一个因式都是 整式，且从整体上看是乘积的形式，局 部变为乘积形式不是因式分解． (３)分解因式时必须把每一个因式分解 到不能再分解为止，即分解因式要彻底． 例４分解因式: (１)(四川乐山中考)a３－ab２＝　　　; (２)(江苏常州中考)x３－２x２＋x＝ ;　 (３)在实数范围内分解因式:x２－５＝ ． 解析:(１)原式＝a(a２－b２)＝a(a＋b)(a－b)． (２)原式＝x(x２－２x＋１)＝x(x－１)２． (３)原式＝x２－(５)２＝(x＋ ５)(x－ ５)． 答案:(１)a(a＋b)(a－b) (２)x(x－１)２ (３)(x＋ ５)(x－ ５) " 　　进行因式分解时要注意先提取公 因式,再看是否符合公式特征,注意掌 握公式的结构特征． 专题五　思想方法专题 １．化归思想 从运算的角度讲，本章的核心思想是 化归．多项式(或单项式)乘以多项式归 结为项与项相乘，即单项式乘以单项 ３６ 式．单项式乘以单项式归结为系数相乘 和同底数幂的乘法，幂的运算是基础． 例５先化简,再求值:(x＋５)(x－１)＋ (x－２)􀅰(x＋２),其中x＝－２． 解:原式＝x２－x＋５x－５＋x２－４ ＝２x２＋４x－９． 当x＝－２时,原式＝２×(－２)２＋４× (－２)－９＝－９． 　　幂的运算是基础,注意搞清算理 及其之间的转化关系,掌握整式运算 的依据． ２．数形结合思想 本章教材中，多项式乘以多项式及乘法 公式等都是用图形的面积来解释的，直 观明了，反映了数与形的完美结合． 例６如图１２Ｇ１,你能根据面积关系得到 的数学公式是　 (　　) 图１２Ｇ１ A．(a＋b)２＝a２＋２ab＋b２ B．(a－b)２＝a２－２ab＋b２ C．a２－b２＝(a＋b)(a－b) D．(a－b)２＝(a＋b)２－４ab 解析:空 白 部 分 的 面 积 可 表 示 为 (a－ b)２,空白部分的面积还可以用边长为 a 的大正方形的面积减去两个长、宽分 别为a 和b 的长方形的面积,再加上 一个边长为b的正方形的面积(因为多 减了这一部分的面积),即a２－２ab＋b２, 所以可得数